, ANALIZA MATEMATYCZNA ZADANIA duzy zakres materiału, Nauki Ścisłe Politechnika, Analiza Matematyczna 

ANALIZA MATEMATYCZNA ZADANIA duzy ...

ANALIZA MATEMATYCZNA ZADANIA duzy zakres materiału, Nauki Ścisłe Politechnika, Analiza Matematyczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ZADANIADOSAMODZIELNEGOROZWIZNIA
oprac.I.Gorgol
1
Spistre±ci
1.Elementylogiki 3
2.Elementyrachunkuzbiorów 4
3.Funkcjezdanioweikwantyfikatory. 4
4.Funkcjazło»onaiodwrotna 6
5.Granicaci¡guliczbowego 7
6.Granicafunkcji 9
7.Ci¡gło±¢funkcji 11
8.Pochodnafunkcji 12
9.Reguładel’Hospitala 13
10.Zastosowaniarachunkuró»niczkowego 13
11.Liczbyzespolone
16
2
1.ELEMENTYLOGIKI
3
1.Elementylogiki
Zadanie1.1.
Ustali¢,którezezda«s¡zdaniamiwsensielogicznym.Poda¢warto±¢logiczn¡tych
zda«.
(1)SymbolemLublinajestkoziołek. w=1
(2)ObecniewLubliniemieszkadwamilionyosób. w=0
(3)Dwaplusdwajestrównecztery. w=1
(4)Czydwaplusdwawynosicztery?
(5)Czyjesttozdaniewsensielogicznym?
(6)Uczsi¦pilnie!
(7)Jutrob¦dziepadałdeszcz.
(8)Krowajestzwierz¦ciemparzystokopytnym. w=1
(9)Okr¡gjestbrzegiemkoła. w=1
(10)
jestliczb¡wymiern¡. w=0
Zadanie1.2.
Sprawdzi¢,czynast¦puj¡ceformułys¡prawamirachunkuzda«:
(1)(
p
_
q
)
^
(
p
=
)
q
) N
(2)(
p
=
)
q
)=
)
[(
r
^
q
)=
)
(
r
^
p
)] T
(3)(
p
=
)
q
)=
)
(
q
=
)
r
) N
(4)
{
[(
p
^
q
)=
)
r
]
^
[
p
_
(
q
=
)
r
)]
}
=
)
(
p
^
q
^
r
) N
(5)[(
p
_
q
)
^
(
p
=
)
q
)]=
)
(
q
=
)
p
) N
(6)[(
p
=
)
q
)
^
(
q
=
)
p
)]=
)
(
p
_
q
) N
(7)[(
p
^
q
)=
)
r
]=
)
[(
p
^
r
)=
)
(
q
)] T
(8)[(
p
=
)
q
)
_
(
r
=
)
q
)]=
)
[(
p
^
r
)=
)
q
] T
(9)[(
p
=
)
q
)
^
p
]=
)
q
T
(10)[(
p
()
q
)
^
(
r
=
)
q
)]
()
[(
p
_
r
)=
)
q
] N
Zadanie1.3.
Napisa¢zaprzeczenianast¦puj¡cychzda«lubformzdaniowych:
(1)
x>
0
^
x<
−
2.
(2)
x
¬
0
_
x
­
2.
(3)Dzieckozało»yłolew¡ipraw¡r¦kawiczk¦.
(4)Tumo»emyskr¦ci¢wlewolubwprawo.
(5)2
<
5
)
3
<
5.
(6)Je»elipadadeszcz,toid¦podparasolem.
(7)
x
2
−
3
x
+2=0
)
(
x
=1
_
x
=2).
(8)
W
=
P
=
R
=0.
(9)Je»eliliczbajestpodzielnaprzez9,tojestpodzielnaprzez3.
(10)Okr¡gjestbrył¡wtedyitylkowtedy,gdy
−
1jestkwadratemliczbyrzeczywistej.
Zadanie1.4.
Sprawdzi¢,»eformuła(
p
,
q
)
,
(
p
,
q
)jesttautologi¡.Zastosowa¢t¦formuł¦
doponi»szychformzdaniowych.
(1)
x
2
−
3
x
+2=0
,
(
x
=1
_
x
=2).
(2)Liczbadzielisi¦przez6wtedyitylkowtedy,gdydzielisi¦przez2idzielisi¦przez3.
(3)
x
−
1
Zadanie1.5.
Wskaza¢warunkikonieczneorazwarunkidostateczne.Napisa¢implikacj¦odwrotn¡,
przeciwn¡iprzeciwstawn¡dodanej:
(1)Je»eliliczbadzielisi¦przez4,tojestliczb¡parzyst¡.
(2)Je»elikołomapromie«odługo±ci2,tojegopolewynosi4
.
(3)Je»elik¡tywpisanes¡opartenatymsamymłuku,tomaj¡równemiary.
(4)Je»eliczworok¡tjestkwadratem,tojestrombem.
(5)Je»eliliczbapierwszajestwi¦kszaod3,to2niejestjejdzielnikiem.
x
−
2
>
0
,
[(
x>
1
^
x>
2)
_
(
x<
1
^
x<
2)]
3.FUNKCJEZDANIOWEIKWANTYFIKATORY. 4
2.Elementyrachunkuzbiorów
Zadanie2.1.
Danes¡zbiory
A
=
{
x
2
R:
|
x
−
2
|¬
2
}
i
B
=
{
x
2
R:
|
x
−
1
|­
1
}
.Znale¹¢zbiory
A
[
B
,
A
\
B
oraz
A
\
B
.
Zadanie2.2.
Danes¡zbiory
A
=
{
x
2
R:
p
x
2
−
4
x
+4
¬
1
}
i
B
=
{
x
2
R:
|
x
|
>
1
}
.Zaznaczy¢
zbiory(
A
[
B
)
0
,
A
0
\
B
oraz
A
\
B
0
.
Zadanie2.3.
Danes¡zbiory
A
=
{
x
2
R:
|
x
−
2
|¬
2
}
i
B
=
{
x
2
R:
x
−
1
x
+2
>
2
}
.Znale¹¢zbiory
A
0
[
B
0
oraz
A
0
\
B
0
.
Zadanie2.4.
Danes¡zbiory
A
=
{
x
2
R:
|
3
−
x
|¬
1
}
i
B
=
{
x
2
R:
2
x
x
−
2
<
1
}
.Znale¹¢zbiory
A
0
[
B
0
oraz
A
0
\
B
0
.
Zadanie2.5.
Danes¡zbiory
A
=
{
(
x,y
)
2
R
2
:
y
+1
­|
x
−
1
|}
i
B
=
{
(
x,y
)
2
R
2
:3
y
¬−
3
x
2
+10
x
}
.
Wprostok¡tnymukładziewspółrz¦dnychzaznaczy¢iloczyntychzbiorów.
Zadanie2.6.
Danes¡zbiory
A
=
{
(
x,y
)
2
R
2
:
xy
¬
4
}
i
B
=
{
(
x,y
)
2
R
2
:
x
­
1
^
y
­
2
}
.W
prostok¡tnymukładziewspółrz¦dnychzaznaczy¢iloczyntychzbiorów.
Zadanie2.7.
Danes¡zbiory
A
=
{
(
x,y
)
2
R
2
:
y
­
2
x
−
1
}
i
B
=
{
(
x,y
)
2
R
2
:
x
2
+
y
2
¬
4
}
.W
prostok¡tnymukładziewspółrz¦dnychzaznaczy¢iloczyntychzbiorów.
Zadanie2.8.
Danes¡zbiory
A
=
{
(
x,y
)
2
R
2
:
y
¬
sin
x
}
i
B
=
{
(
x,y
)
2
R
2
:
x>
0
^
y
­
log
3
x
}
.
Wprostok¡tnymukładziewspółrz¦dnychzaznaczy¢iloczyntychzbiorów.
Zadanie2.9.
Wiadomo,»e
B
=
{
x
2
R:
x
2
(
−
2
,
3)
}
.
Poda¢przykładzbioru
A
spełniaj¡cego
równo±¢:
A
0
\
B
0
=
{
x
2
R:
x
2
(
−1
,
−
4)
[
(
−
4
,
−
2
i[
(4
,
1
)
}
.
Zadanie2.10.
Wiadomo,»e
A
=
{
x
2
R:
x
2
(
−
4
,
−
1
i[h
0
,
2)
}
.
Poda¢przykładzbioru
B
,dla
któregoprawdziwajestrówno±¢:
A
0
[
B
0
=
{
x
2
R:
x
2
(
−1
,
−
3)
[
(
−
3
,
−
2
i[
(
−
1
,
0)
[
(1
,
1
)
}
.
3.Funkcjezdanioweikwantyfikatory.
Zadanie3.1.
Oceni¢warto±¢logiczn¡zda«:
(1)
^
x
2
R
(
x>
0
^
sin
x<
0),
w
=0
(4)
^
z
2
R
(
z<z
2
_
z
2
+1
>
0),
w
=1
(2)
_
y
2
N
(
p
y
2
N),
w
=1
(5)
^
a
2
R
+
(
a
+
1
a
­
0),
w
=1
(3)
_
t
2
N
(6)
_
x
2
R
(
t
2
+
t
=0
^
t<t
2
),
w
=0
(
x>
0
)
cos
x>
0).
w
=1
Napisa¢zaprzeczeniapowy»szychzda«.
Zadanie3.2.
Oceni¢warto±¢logiczn¡zda«:
(1)
_
x
2
R
_
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
y
2
+2
xy
,
w
=1
(4)
_
x
2
R
_
^
(
x
+
y>n
_
xy<n
),
w
=1
(2)
^
x
2
R
_
(5)
^
x
2
R
+
y
2
N
^
n
2
N
(
y>x
)
p
y>
p
x
).
w
=1
xy
=1,
w
=0
(3)
^
m
2
N
_
y
2
R
+
(
m
2
>n
_
m
¬
n
),
w
=1
n
2
N
Napisa¢zaprzeczeniapowy»szychzda«.
y
2
R
y
2
R
3.FUNKCJEZDANIOWEIKWANTYFIKATORY. 5
Zadanie3.3.
Okre±li¢warto±¢logiczn¡poni»szegozdania.Odpowied¹uzasadni¢.
_
^
(
a
−
3)
x
2
+(
a
+1)
x
+1
<
0
.
a
2
R
x
2
R
w
=0
Zadanie3.4.
Okre±li¢warto±¢logiczn¡poni»szegozdania.Odpowied¹uzasadni¢.
_
^
(
b
+1)
x
2
+(2
b
−
1)
x
+
b>
0
.
b
2
R
x
2
R
w
=1
Zadanie3.5.
Przekształcaj¡cwyra»enie
_
(
y
6
=0=
)
y
3
−
y
6
=0)
,
y
wprowadzi¢kwantyfikatorozasi¦guograniczonymorazoceni¢warto±¢logiczn¡otrzymanegozdania.
Zadanie3.6.
Zbada¢dlajakichzbiorów
A,X
Rprawdziwejestzdanie
^
^
log
a
x<
0
.
a
2
A
x
2
X
(
A
=(1
,
+
1
)
^
X
=(0
,
1))
_
(
A
=(0
,
1)
^
X
=(1
,
+
1
))
Zadanie3.7.
Zbada¢dlajakichzbiorów
A,X
Rprawdziwejestzdanie
^
^
a
x
<
1
.
a
2
A
x
2
X
(
A
=(1
,
+
1
)
^
X
=(
−1
,
0))
_
(
A
=(0
,
1)
^
X
=(0
,
+
1
))
Zadanie3.8.
Wyznaczy¢zakres
T
zmienno±cizmiennej
t
tak,byprawdziwebyłozdanie
^
^
sin
x
+
1
2
<t
2
+2
t
−
3
.
2
t
2
T
x
2
R
T
=(
−1
,
−
3)
[
(1
,
+
1
)
Zadanie3.9.
Zapisa¢przyu»yciukwantyfikatoróworazoceni¢warto±¢logiczn¡poni»szychzda«.
Odpowied¹uzasadni¢.
(1)Sumadowolnychdwóchliczbrzeczywistychjestwi¦kszaodichró»nicy.
(2)Iloczynpewnychdwóchliczbrzeczywistychjestmniejszyodichilorazu.
(3)Istniej¡liczbynieb¦d¡cekwadratem»adnejliczbyrzeczywistej.
(4)Nieistniejeliczbarzeczywista,którejkwadratbyłbymniejszyodzera.
(5)Układrówna«:
x
+
y
=2,2
x
+2
y
=3niemarozwiaza«.
(6)Liczby5i17niemaj¡wspólnegodzielnika.
Odpowiedzi:
(1)
^
x
2
R
^
(
x
+
y>x
−
y
),
w
=0,np.liczby
−
2i
−
1
(2)
_
x
2
R
_
(
xy<
x
y
),
w
=1,np.liczby
1
2
i
1
4
(3)
_
x
2
R
^
(
x
6
=
y
2
),
w
=1,np.liczba
−
1
(4)
_
x
2
R
y
2
R
(
x
2
<
0),
w
=1
(5)
_
x
2
R
_
(
x
+
y
=2
^
2
x
+2
x
=3),
w
=0
(6)
_
x
2
Z
y
2
R
(
5
x
2
Z
^
17
x
2
Z).
w
=0,wspólnymdzielnikiemtychliczbjest1
y
2
R
y
2
R
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • dodatni.htw.pl
    		•