, AOI ćwiczenie 4 Matlab, Informatyka WEEIA 2010-2015, Semestr III, Automatyzacja Obliczeń Inżynierskich, Rozwiązane, MATLAB cw 3 i cw4 

AOI ćwiczenie 4 Matlab

AOI ćwiczenie 4 Matlab, Informatyka WEEIA 2010-2015, Semestr III, Automatyzacja Obliczeń Inżynierskich, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Katedra Informatyki Stosowanej
Automatyzacja Obliczeń Inżynierskich
Laboratorium
Ćwiczenie 4.
Wykorzystanie środowiska MATLAB do analizy numerycznych problemów
inżynierskich.
Opracował: dr hab. inż. Jacek Kucharski
dr inż. Piotr Urbanek
Program ćwiczenia
Dwuwymiarowa analiza rozkładu pola elektrycznego.
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest rozwiązywanie w środowisku MATLAB układów równań n równań liniowych z n
niewiadomymi metodą bezpośrednią oraz iteracyjną.
Wprowadzenie
Rozważmy powierzchnię w kształcie kwadratu o długości boku a=1m. Załóżmy, że na każdej
krawędzi rozpatrywanej powierzchni istnieje pewien potencjał, którego wartość pokazana
jest na rys. 2. Zakładamy, że na powierzchni płyty nie ma rozmieszczonego elektrycznego
ładunku powierzchniowego.
500 V
D
x
1
2
300 V
150 V
D
y
3
4
a=1m
Rys.2. Podział badanej powierzchni na elementy oraz
warunki początkowe przyjęte do obliczeń.
Należy obliczyć rozkład potencjału na powierzchni płyty i przedstawić go w formie graficznej.
Zakładamy, następujące właściwości materiałowe rozpatrywanej powierzchni:
·
materiał jest jednorodny i izotropowy,
·
jest stały,
Opisany wyżej problem jest przypadkiem, w którym występuje statyczne pole elektryczne. Równanie
współczynnik przenikalności elektrycznej
e
opisujące takie pole są następujące:
C
rot
E
=
0
C
div
D
=
r
,
(1)
C
C
D
=
e
E
.
 gdzie:
E
-
wektor natężenia pole elektrycznego,
D
-
wektor indukcji elektrycznej,
r
-
ładunek elektryczny,
e
-
przenikalność elektryczna środowiska.
rot
C
wynika, że pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym, które można
jednoznacznie określić funkcją skalarną zwaną potencjałem V.
E
=
0
Ze wzoru
Zakładając, że rozpatrujemy pole elektrostatyczne w środowisku jednorodnym (
e
=const) oraz, że w
badanym obszarze nie ma ładunku (
r
=0), to w każdym punkcie tego obszaru potencjał spełnia
równanie Laplace’a [1]:
2
Ñ
V
=
0
(2)
które w postaci rozwiniętej przybierze postać:
2
2
2

V

V

V
+
+
=
0
(3)
2
2
2

x

y

z
W analizowanym problemie mamy do czynienia z polem dwuwymiarowym, w którym potencjał V nie
zmienia się wzdłuż osi z. Zatem równanie (3) upraszcza się do postaci:
2
2

V

V
+
=
0
(4)
2
2

x

y
W przedstawionym przypadku równanie (4) może być rozwiązane analitycznie poprzez znalezienie
całki szczególnej lub też w sposób numeryczny.
Zakładając, że celem ćwiczenia jest numeryczne rozwiązanie równania (4) z wykorzystaniem do
obliczeń Metody Różnic Skończonych (MRS) dzielimy badany obszar na szereg elementów, tworząc w
ten sposób siatkę obliczeniową.
W ogólnym przypadku liczba elementów na jakie musimy podzielić obszar zależy od rodzaju pola
fizycznego i problemu, jaki chcemy rozwiązać.
Przykład utworzonej siatki jest przedstawiony na rys.2.
m, n-1
D
y
m-
1
,
n
m+
1
,n
m,n
x
/
D
2
D
y
m,
n
+
1
D
x
x
D
Badany obszar
Rys.2. Przykład utworzonej siatki z węzłami wewnętrznymi
Stosunek boków elementów
y w szczególnym przypadku może równać się jedności, co
oznacza, że elementy te są kwadratami.
D
x do
D
Przecięcia linii tworzą węzły obliczeniowe, w których wyznaczane są wartości szukanej funkcji.
W obliczeniach polowych wyróżnia się trzy rodzaje węzłów:
·
środkowe, czyli takie, które leżą w środku badanego obszaru,
·
powierzchniowe, czyli takie, które leżą na powierzchni badanego obszaru,
·
narożne, czyli takie, które leżą na rogach badanego obszaru.
Po tak przeprowadzonej dyskretyzacji równanie różniczkowe (4) zostanie zapisane w postaci
różnicowej. Wartości szukanej funkcji V pomiędzy węzłami można wyznaczyć z przybliżonych
wzorów:
V
-
V
V
-
V

V

V
m
+
1
n
m
,
n
m
,
n
m
-
1
n
»
»
;

x
D
x

x
D
x
1
1
m
+
,
n
m
-
,
n
2
2
(5)
V
-
V
V
-
V

V

V
m
,
n
+
1
m
,
n
m
,
n
m
,
n
-
1
»
»
;

y
D
y

y
D
y
1
1
m
,
n
+
m
,
n
-
2
2
 Pochodne drugiego rzędu w punkcie (m, n) będą zatem równe:


V
x


V
x
-
1
2
1
2
2
V
+
V
-
2
V


V
x
m
+
,
n
m
-
,
n
m
+
1
,
n
m
-
1
2
,
n
m n
,
»
=
(
)
2
D
x
D
x
m n
,
(6)


V
y


V
y
-
1
2
1
2
2
V
+
V
-
2
V


V
y
m n
,
+
m n
,
-
m n
,
+
1
m n
,
-
1
m n
,
»
=
(
)
2
D
y
2
D
y
m n
,
2


V
x
Ze wzorów (6) wynika, że wartością pochodnej funkcji
w punkcie (m, n) jest różnica
2
potencjałów pomiędzy punktami (m+1,n) i (m,n). Analogicznie wyznacza się wartości pochodnej w
pozostałych punktach pomiędzy węzłami.
Podstawiając powyższe równania do wzoru (4) otrzymujemy:
V
+
V
-
2
V
V
+
V
-
2
V
m
+
1
,
n
m
-
1
,
n
m n
,
m n
,
+
1
m n
,
-
1
2
m n
,
+
=
0
(
)
(
)
2
D
x
D
y
(7)
Zakładając równomierny podział siatki wewnątrz badanego obszaru, czyli
D
x=
D
y otrzymujemy:
V
+
V
+
V
+
V
-
4
V
=
0
m
+
1
,
n
m
-
1
,
n
m n
,
+
1
m n
,
-
1
m n
,
(8)
Podstawiając równanie (8) do kaŜdego węzła wewnętrznego otzrymujemy n równań z n
niewiadomymi, który moŜna przedstawić w postaci:
A
×
V=C
(9),
gdzie: A - macierz współczynników przy potencjałach,
V - wektor szukanych wartości potencjałów,
C - wektor wyrazów wolnych.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • dodatni.htw.pl
    		•