, AMI 2006 zaliczenie arkusze 5-8, Studia, Politechnika Łódzka - Pendrive, Analiza matematyczna 

AMI 2006 zaliczenie arkusze 5-8

AMI 2006 zaliczenie arkusze 5-8, Studia, Politechnika Łódzka - Pendrive, Analiza matematyczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
A
RKUSZ
V
ANALIZA MATEMATYCZNA I
POCHODNE FUNKCJI
Zad.1.
Korzystając z definicji, obliczyć pochodne funkcji:
( )
)
f
x
=
x
3
dla
x
Î
R
c)
f
( )
x
=
1
dla
x
¹
2
e)
f
( )
x
=
x
2
+
3
dla
x
Î
R
x
-
2
b)
f
( )
x
=
4
x
dla
x
Î
R
d)
f
( )
x
=
ln(
x
+
1
dla
x
>
-
1
f)
f
( )
x
=
sin
1
dla
x
¹
0
x
Zad.2.
Naszkicować wykres i zbadać różniczkowalność funkcji: w całej dziedzinie
í
x
2
dla
x
£
1
( )
( )
( )
a) f
x
=
x
x
+
2
c) f
x
=
x
2
-
4
x
+
4
e) f
x
=
î
x
dla
x
>
1
ï
í
x
dla
x
³
0
ì
2
x d
la x
<
0
ì
-
x
2
dla x
<
0
í
b) f
( )
x
=
x
2
+
x dla
x
Î
( )
-
1
,
0
d) f
( )
x
=
sin
2
x dla x
Î
0
,π
f)
f
( )
x
=
í
tg
x dla
x
³
0
î
ï
î
1
-x
2
dla
x
£
-
1
1
dla x
>
π
î
Zad.3.
Korzystając z twierdzeń obliczania pochod
nych obliczy
ć pochodne podanych funkcji:
y
=
x
ln
æ
x
+
1
ö
æ
1
ö
r)
y
=
5
ln
2
x
a)
è
ø
i)
y
=
1
+
tg
è
x
+
ø
x
x
1
s)
-
1
2
ln
x
y
=
x
ln
x
b)
y
=
ar
ctg
x
-
1
-
y
=
xe
x
j)
2
x
x
x
-
1
t)
y
=
1
c)
y
=
1
k)
2
y
=
arc
sin
2
x
x
1
-
(
)
x
+
e
-
x
u)
y
=
ar
ctg
x
d)
y
=
ar
ctg
2
x
1
-
x
2
y
=
( )
tg
x
sin
x
l)
y
=
arc
cos
v)
2
arc
sin
x
1
+
x
1
y
=
e)
( )
ar
ctg
2
x
w)
y
=
tg
x
x
e
y
=
cos
x
m)
arc
ctg
2
x
( )
f)
y
=
1+
4
x
tg
x
e
x
=
y)
e
y
x
3
2
y
=
2
ln
sin
y
2
2
x
n)
g)
=
x
+
x
2
-
4
x
cos
x
y
=
e
3
x
2
æ
ö
o)
y
=
ln
è
cos
2
ø
h)
y
=
sin
x
+
x
+
2
x
æ
1
ö
x
p)
y
x
=
log
( )
ln
x
z)
y
=
è
1
+
ø
x
q)
y
=
x
sin
x
Zad.4.
Napisać równania stycznych do wykresów funkcji w podanych punktach:
( )
(
)
( )
e
x
(
)
a)
f
x
=
arctg
x
2
,
0
f
(
0
)
c)
f
x
=
,
1
,
f
(
1
x
+
1
ln
x
b)
f
( )
x
=
,
(
e
,
f
(
e
)
)
d)
f
( )
x
=
x
x
,
(
e
,
f
(
e
)
)
x
Zad.5
. Obliczyć pochodne
f
¢
,
dla podanych funkcji:
f
¢
,
f
¢
a)
f
( )
x
=
sin
3
x
+
cos
3
x
b)
f
( )
x
=
x
3
ln
x
c)
f
( )
x
=
ar
ctg
1
x
Zad.6
. Zbadać czy istnieje
( )
( )
f
n
x
jeśli:
( )
í
-
x
2
,
x
<
0
( )
í
2
x
3
+
x
2
,
x
<
0
a)
f
x
=
gdzie
x
=
0
,
n
=
2
c)
.
f
x
=
gdzie
x
=
0
,
n
=
2
î
x
3
,
x
³
0
0
î
x
2
,
x
³
0
0
( )
( )
í
x
4
arctg
1
,
x
¹
0
f
x
=
x
x
,
x
Î
R
,
gdzie
x
=
0
n
=
2
b)
d)
f
x
=
x
gdzie
x
=
0
,
n
=
3
0
0
î
0
,
x
=
0
a
ì
ì
x)
ì
ì
ì
A
RKUSZ
VI
1
/
2
ANALIZA MATEMATYCZNA I
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Zad.1.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji:
a)
f
( )
x
=
x
3
-
30
2
x
+
225
x
+
1
-
1
g)
2
f
( )
x
=
x
e
x
( )
-
3
x
f
x
=
xe
b)
( )
2
h)
f
x
=
ln
x
-
4
ln
x
+
3
x
c)
f
( )
x
x
=
( )
ln
x
ln
i)
f
x
=
x
2
1
d)
f
( )
x
=
1
1
-
j)
x
ln
x
f
( )
x
=
-
xe
x
2
e)
f
( )
x
=
2
ln
x
k)
f
( )
x
=
x
x
-
ln
x
ln
-
1
f)
f
( )
x
=
x
-
2
ar
ctg
x
l)
f
( )
x
=
2
4
x
-
x
2
-
arcsin
x
-
2
2
Zad.2.
Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym pr
z
edziale I:
( )
)
f
x
=
x
4
-
2
x
2
,
I
=
-
2
2
b
)
f
( )
x
=
x
-
x
,
I
=
0
1
c
)
f
( )
x
=
e
-
x
-
e
-
2
x
,
I
=
-
1
1
d
)
f
( )
x
=
x
2
-
x
2
ln
2
x
,
I
=
1
2
e
)
f
( )
x
=
4
x
-
5
ar
ctg
x
,
I
=
0
1
f
)
f
( )
x
=
2
sin
x
+
sin
2
x
,
I
=
0
,
3
p
2
Zad.3.
Uzasadnić podane tożsamości:
a
)
ar
ctg
1
+
ar
ctg
x
=
p
dla
x
>
0
c
)
arc
sin
x
+
arc
cos
x
=
p
dla
x
Î
-
1
x
2
2
b
)
arc
sin
x
=
arc
cos
1
dla
x
³
0
d
)
ar
ctg
x
=
p
-
ar
ctg
1
-
x
dla
x
>
-
1
2
2
4
1
+
x
1
+
x
1
+
x
Zad.4.
Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia funkcji:
( )
(
)
( )
e
x
( ) (
)
a)
f
x
=
ln
x
4
+
2
d)
f
x
=
x
g)
f
x
=
2 -
ln
x
ln
x
+
2
f
( )
x
=
x
-
2
arctg
x
f
( )
=
2
x
f
( )
x
=
ln
x
2
+
2
xar
ctg
x
b)
e)
h)
+
ln
x
1
+
x
c)
f
-
( )
x
=
e
x
2
f)
f
( )
=
x
4
-
6
2
x
-
6
x
+
1
i)
f
( )
x
=
e
ar
ctg
x
a
,
,
,
,
,
x
x
 A
RKUSZ
VI
2
/
2
Zad.5.
Obliczyć granice (wykorzystując regułę de L’Hospitala):
a)
lim
x
x
-
sin
x
l)
lim
x
+
tg
x
ln
x
w)
lim
x
è
1
-
ctg
x
ø
® 0
® 0
x
-
tg
x
®
0
-
x
lim
-
+ ¥
x
2
e
x
x
-
x
m)
e
-
e
æ
1
x
ö
x
®
b)
lim
x)
lim
x
è
-
ø
ln
x
ln
x
x
® 0
x
-
sin
x
-
1
®
1
2
n)
x
ln
x
lim
x
e
æ
1
1
ö
lim
x
-
lim
x
è
-
ø
c)
y)
x
®
0
( )
3
®
1
1
x
-
x
sin
x
®
0
lim
x
ln
x
ln
(
1
x
-
o)
x
-
arctg
x
x
+
2
®
1
( )
lim
x
2
d)
z)
2
x
-
1
lim
0
1
x
+
x
2
®
0
p)
lim
x
ln
x
®
x
+
1
10
x
-
10
x
+
9
x
®
+ ¥
lim
(
arctg
x
)
x
lim
x
e)
lim
x
+
x
ln
x
aa)
0
+
5
q)
x
®
®
1
x
-
5
x
+
4
® 0
(
)
tg
x
ln
cos
x
lim
p
sin
x
æ
p
ö
f)
lim
x
lim
x
( )
1
-
x
tg
è
x
ø
bb)
r)
x
®
ln
cos
3
x
®
0
2
®
1
g)
lim
1
x
x
-
1
æ
1
ö
æ
2
ö
x
cc)
lim
arctg
x
ln
x
lim
1
+
xe
x
è
ø
s)
x
®
ç
÷
p
x
®
+ ¥
x
®
0
+
x
-
x
e
-
e
è
ø
(
)
ln
x
h)
lim
lim
1
+
x
(
)
dd)
2
-
3
x
x
®
0
sin
x
lim
2
x
+
x
e
+
t)
x
®
0
x
®
+ ¥
tg
x
-
1
sin
x
lim
x
æ
1
1
ö
æ
1
ö
i)
p
sin
x
-
cos
x
u)
lim
x
ç
è
-
÷
ø
ee)
lim
è
ø
®
x
x
®
0
x
ar
ctg
x
®
0
+
4
ln
x
æ
1
1
ö
(
)
1
j)
lim
lim
x
ç
è
-
÷
ø
ff)
lim
0
+
e
2
x
x
v)
x
2
-
ln
x
( )
2
x
®
+ ¥
ln
x
®
1
x
-
1
x
®
ln
( )
x
ln
x
k)
lim
x
®
+ ¥
Zad.6.
Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji:
( )
x
3
-
x
( )
( )
x
a
)
f
x
=
d
)
f
x
=
xarc
ctg
x
g
)
f
x
=
xe
x
-
1
x
2
-
x
-
2
b
)
f
( )
x
=
ln
x
e
)
f
( )
x
=
x
ln
x
h)
f
( )
x
=
x
x
2
-
x
1
-
ln
x
arc
sin
x
c
)
f
( )
x
=
x
-
ln
x
f
)
f
( )
x
=
2
x
+
1
arc
ctg
x
i)
f
( )
x
x
=
x
x
ln
Zad.7.
Zbadać przebieg zmienności funkcji oraz naszkicować jej wykres:
a)
f
( )
x
x
=
x
f)
x
l)
f
( )
x
=
x
2
e
-
3
x
( )
f
x
=
xe
2
ln
( )
2
( )
m)
f
x
=
x
ln
-
x
( )
2
( )
b)
f
x
=
x
2
e
-
x
g)
f
x
=
x
ln
x
2
x
x
( )
ln
x
f
( )
x
=
1
n)
f
x
=
arc
sin
( )
x
h)
c)
f
x
=
-
ln
x
1
+
x
2
i)
f
( )
x
=
x
-
2
ar
ctg
x
x
-
1
( )
1
-
x
o)
f
( )
x
=
ar
ctg
f
x
=
e
d)
x
+
1
x
+
1
x
j)
( )
f
x
=
e
x
-
2
2
-
x
x
( )
e
( )
-
1
a)
f
x
=
2
x
e)
f
x
=
+
x
k)
( )
2
( )
2
x
+
1
f
x
=
xe
x
æ
ö
ç
÷
A
RKUSZ
VII
1
/
2
ANALIZA MATEMATYCZNA I
CAŁKI NIEOZNACZONE
Zad.1.
Obliczyć całki:
x
3
+
3 2
x
-
1
2
x
-
dx
x
5
x
x
3
-
dx
1
a)
ò
dx
c)
ò
e)
ò
-
x
10
x
1
ò
ln
x
ò
tg
2
xdx
e
-
2
x
-
4
b)
e
dx
d)
f)
ò
dx
e
-
x
+
2
Zad.2.
Obliczyć całki:
a)
ò
1
-
x
2
dx
,
x
Î
R
b)
ò
e
x
dx
,
c)
x
Î
R
ò
cos
x
dx
,
x
Î
[ ]
0
p
Zad.3.
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie obliczyć całki:
a)
ò
(
5
-
3
x
)
10
dx
x
ò
+ 1
e
x
x
2
dx
s)
ò
( )
dx
k)
cos
2
x
3
+ 1
2
(
)
e
5
b)
ò
x
x
+
3
dx
( )
5
sin
x
ln
x
2
ò
-
dx
ò
e
x
3
l)
t)
dx
ò
dx
c)
3
2
cos
x
x
(
)
d)
ò
cos
1
3
x
+
dx
m)
ò
sin
3
xdx
u)
ò
dx
e
x
+
e
-
x
1
dx
e)
ò
-
dx
ò
n)
x
ò
+ 1
5
x
2
e
x
4
x
x
-
2
v)
dx
dx
2
e
ò
-
sin
x
f)
o)
ò
(cos
x
)
dx
1
x
4
2
dx
ò
+
w)
( )
ò
x
sin
(
2
x
2
+ 1
)
dx
1
x
2
arctg
x
g)
ò
x
5 3
2
5
x
+
1
dx
p)
ln
x
ln
x
ò
x
dx
ò
dx
ò
x)
dx
h)
q)
x
4
-
3
ln
2
x
2
x
3
-
5
x
cos
x
i)
ò
+
dx
1
y)
ò
+ sin
dx
e
x
2
x
r)
1
x
ò
dx
2
x
x
3
j)
ò
dx
x
+ 1
Zad.4.
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki:
a)
ò
x
2
sin
xdx
e)
ò
xarctgxdx
i)
ò
e
x
cos
xdx
- 3
x
b)
ò
xe
dx
f)
ò
arcosxdx
j)
ò
e
x
2
sin
xdx
ò
c)
x
ln
xdx
g)
ò
log
3
xdx
k)
ò
x
cos
ln
xdx
x
d)
ò
dx
h)
ò
x
ln
xdx
l)
ò
sin
ln
xdx
cos
2
x
Zad 5.
Obliczyć całki:
2
( )
ln
2
x
a)
ò
x
3
e
x
dx
d)
ò
x
ln
1
+
x
2
dx
g) dx
x
ò
5
b)
ò
e
-
2
x
sin
3
xdx
e)
dx
ò
x
4
e
2
x
h)
ò
x
sin
2
xdx
sin
x
x
c)
ò
arccos
f)
2
xdx
ò
e
tg
dx
i)
ò
2
x
arcsin
(
3
-
x
2
)
dx
3
cos
x
A
RKUSZ
VII
2
/
2
Zad.6.
Obliczyć całki funkcji wymiernych:
dx
2
x
-
5
2
x
4
+
5
x
2
-
2
ò
ò
a)
i)
dx
p)
ò
dx
x
2
+
2
x
+
8
2
x
-
5
x
+
3
2
x
3
-
x
-
1
2
dx
3
x
+
dx
1
dx
b)
ò
j)
ò
+
ò
-
q)
x
2
+
6
x
+
18
(
x
2
)
2
x
3
4
x
dx
ò
x
3
+
2
x
-
6
ò
-
x
c)
dx
ò
dx
r)
2
k)
2
x
-
2
x
+
5
4
1
x
x
2
-
x
-
2
5
-
4
x
dx
d)
ò
dx
2
x
ò
ò
dx
s)
2
l)
( )(
)
x
-
4
x
+
20
(
) (
)
2
3
x
2
+
1
x
2
+
3
x
-
2
x
+
3
x
+
1
dx
e)
ò
dx
dx
ò
+
2
ò
t)
x
-
x
+
1
m)
(
)
8
6
x
x
2
+ 4
x
x
x
2
dx
2
dx
2
f)
ò
xdx
ò
+
u)
x
2
+
2
x
+
5
ò
n)
x
x
( )(
)(
)
x
-
1
x
+
2
x
+
3
x
(
x
+
2
)
3
2
x
-
dx
x
2
ò
g)
dx
ò
6
7
2
x
v)
x
2
+
2
x
+
2
o)
ò
+
dx
2
x
+
-
1
2
x
+
6
3
x
2
5
ò
dx
4
2
x
+
3
1
h)
w)
ò
+
dx
2
x
+
3
x
+
1
2
x
Zad.7.
Obliczyć całki funkcji niewymiernych:
ò
+
dx
ò
-
dx
x
2
a)
g)
m)
ò
-
dx
3
4
x
1
x
9
2
4
x
2
dx
x
+
dx
x
3
b)
ò
-
ò
-
x
3
ò
h)
dx
n)
3
3
x
4
1
4
2
25
+
x
2
ò
x
1
- 5
x
dx
c)
6
x
+
5
ò
dx
ò
x
2
- 36
dx
i)
o)
x
6
+
x
-
x
2
ò
dx
d)
3
x
-
1
4
2
x
+
3
dx
ò
dx
p)
ò
j)
x
2
-
7
x
+
10
x
x
2
+
3
x
+
2
ò
- 1
e)
dx
5
x
+
2
3
2
x
-
dx
x
2
ò
dx
x
q)
ò
k)
2
1
+
x
-
x
1
+
x
4
x
-
4
+
5
ò
-
dx
f)
3
x
-
x
1
x
5
2
x
+
2
ò
dx
ò
r)
dx
l)
2
x
+
2
x
+
2
2
x
+
8
x
-
1
Zad 8.
Obliczyć całki funkcji trygonometrycznych:
a)
ò
cos
2
x
4
sin
xdx
i)
ò
+
sin
2
x
dx
o)
ò
dx
1
sin
2
x
3
sin
x
+
4
cos
x
+
5
b)
ò
sin
x
3
sin
xdx
ò
sin
2
x
sin
4
x
dx
j)
ò
p)
dx
3
ò
c)
sin
xdx
1
-
sin
4
x
cos
x
dx
d)
ò
sin
2
xdx
k)
ò
q)
ò
+
sin
x
cos
x
dx
2
sin
x
cos
x
1
sin
4
x
cos
4
e)
ò
xdx
dx
dx
ò
ò
-
l)
r)
f)
ò
tg
5
xdx
sin
3
x
cos
x
1
5
cos
2
x
dx
dx
6
g)
ò
sin
3
x
cos
4
xdx
m)
ò
s)
ò
cos
x
cos
x
ò
sin
5
x
cos
3
xdx
dx
h)
ò
n)
sin
x
+
cos
x
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • dodatni.htw.pl
    		•