AM2 Zadania02AM2 Zadania02, STUDIA WAT, 2SEM, AM2, WYK
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->ANALIZA MATEMATYCZNA II (Funkcjezespolone)Parametryczne postacie zespolone:a) prostej przechodzącej przez punktzo kierunkua∈C−{0} :z(t)=z+atdlat∈Rb)odcinka o końcachz1iz2:z(t)=z1+(z2−z1)tdlat∈[0,1]c) okręgu ośrodku w punkciezi promieniur:z(t)=z+reitdlat∈[0,2π]d) stycznej do krzywejz(t ) dlat∈Iw punkciez(t):z(s)=z(t)+z′(t)sdlas∈R.Całka funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistejz(t)=x(t)+iy(t)dlat∈[α,β]a) gdy funkcjex(t ) iy(t ) sącałkowalne w przedziale [α,β] ,to∫z(t)dt=∫x(t)dt+i∫y(t)dt;αααβββb)gdyw(t ) jest funkcjąpierwotnąfunkcji ciągłejz(t ) dlat∈[α,β] ,to∫z(t)dt=w(β)−w(α)αβFunkcje zespolonezmiennej zespolonej:1dlaz≠;zc) wielomian m-tego stopniaPm(z)=amzm+am−1zm−1+...+a1z+adlaam≠;d) funkcjaP(z)wymiernaf(z)=mgdziePm(z )iQn(z )wielomiany stopnia m i n;e)funkcja wykładniczaQn(z)a) funkcja liniowaf(z)=az+bdlaa≠; b) inwersjaf(z)=eiz−e−iz;e=e(cosy+isiny)dlaz∈Cc) funkcje trygonometryczne:sinz=2isinzcoszeiz+e−iz;tgz=;ctgz=; d)logarytm główny:lnz=lnz+iargzdlacosz=coszsinz2argzargz+isin)z≠i argz∈(−π;π] ;h) pierwiastek stopnian≥2głównynz=nz(cosnndla argz∈(−π;π] .Pochodna funkcji zespolonej zmiennej rzeczywisteja)Jeśli funkcjazespolonaf(z)=u(x,y)+iv(x,y) ma pochodnąw punkciez=x+iy, toczęśćrzeczywista i urojona funkcjif(z ) ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszegowzxux(x,y)=vy(x,y)punkciez=(x,y)spełniające warunki Cauchyego-Riemannab)uy(x,y)= −vx(x,y)Jeśli pochodne cząstkowe rzędupierwszego funkcjiu(x,y) iv(x,y) sąciągłe w punkciez=(x,y)ispełniająw nim warunki Cauchyego-Riemanna,to funkcjaf(z)=u(x,y)+iv(x,y)ma w punkciez=x+iypochodnąorazf′(z)=ux(x,y)+iv(x,y)=vy(x,y)−iuy(x,y).Całka funkcji zespolonej zmiennej zespolonejpo łuku regularnyma)Gdy funkcjaf(z ) jestciągła na łuku regularnymLzorientowanymL+o opisie parametrycznymz(t) dlat∈[α,β]zgodnym z orientacją, toL∫f(z)dz=αf(z(t))z′(t)dt∫+βb) Gdy funkcjazespolonaf(z) ma funkcjępierwotnąF(z) w obszarzeD,to całka po dowolnym łukuLz1z2⊂Dwyraża sięwzorem∫f(z)dz=F(zLz1z22)−F(z1)c) Jeślifunkcjaf(z ) jest holomorficzna w obszarze jednospójnymDi krzywa regularna Jordana∂Djest brzegiem obszaruD⊂C, to∂D+∫f(z)dz=0 .d) Jeśli brzegiem obszaru ograniczonegoD⊂Cjest krzywa regularna Jordana∂Di funkcjaf(z ) jest holomorficzna w obszarzeD, tof(z)f(z)dz2π⋅i(n)dz=2πif(z)oraz∫=f(z)n+1∫+z−zn!(z−z)KL+dlaz∈Din∈NPunkty osobliwe funkcji zespolonejPunktz∉Dfnazywamy punktem osobliwym funkcjif(z)⇔gdy funkcja jestzachodząwzory całkowe Cauchyegoholomorficzna w sąsiedztwie tego punkuz.Jeśli funkcja jest holomorficzna w sąsiedztwie tego punkuz, to można jąprzedstawićw tymsąsiedztwie w postaci szeregu Laurenta (części regularnej i części osobliwej)∞∞c1f(z)nf(z)=∑cn(z−z)+∑−n ndla<z−z<R; gdziecn=∫(z−z)n+1dzdla<r<R2πi∂K+(z,r)n=n=1(z−z)Klasyfikacjapunktów osobliwych. Punkt osobliwyz∉Dffunkcjif(z) nazywamya) pozornie osobliwym funkcji⇔gdy częśćosobliwa szeregu Laurenta jest równa zeru, awięcc−n=dlan∈N.b) biegunem k-krotnym⇔gdy częśćosobliwa szeregu Laurenta zawiera skończonąliczbęskładników, a więcc−k≠ic−n=dlan>kc) istotnie osobliwym⇔gdyczęśćosobliwa szeregu Laurenta zawiera nieskończonąliczbęskładników.Twierdzenie.Punkt osobliwyz∉Dffunkcjif(z) jesta)pozornie osobliwyfunkcjif(z)⇔gdy granicalimf(z)jest właściwaz→ zb)biegunem k-krotnym⇔gdy granicalimf(z)= ∞ilim [z−z]kf(z)≠z→zz→zc)istotnie osobliwym⇔gdy granicalimf(z)nie istnieje.z→ zResiduum funkcjif(z) w punkcie osobliwymz∉Dfnazywamy liczbęreszf(z)=c−1=1∫f(z)dzdla<r<RTwierdzenie(obliczanie residuum) Jeśli punkt2πi∂K+(z,r)osobliwyz∉Dffunkcjif(z) jesta)pozornie osobliwym, toreszf(z)=b)biegunem jednokrotnym, toreszf(z)=lim[(z−z)f(z)]c) biegunem k-krotnym, toz→z1dk−1reszf(z)=limk−1[(z−z)kf(z)]d))istotnie osobliwym, toreszf(z)=c−1(k−1)!z→zdzTwierdzenie(o residuach)) Jeśli brzegiem obszaru ograniczonegoD⊂Cjest krzywaregularna Jordana∂Di funkcjaf(z) jest holomorficzna w obszarzeD−{z1,z2,...,zn},dlaz1,z2,...,zn∈Dto zachodzi wzór∂D+∫f(z)dz=2πi∑resk=1nzkf(z)1. Na płaszczyźniezespolonej Cnaszkicowaćkrzywą: a)z(t)=2t+itdlat∈[−1,2] b)z(t)=isintdlat∈[0, )2c)z(t)=t+it2dlat∈[0,∞] d)z(t)=1−2i+cost+2isint2.Znależćparametrycznąpostaćzespoloną:πa) odcinka łączącego punktyz1=1+3iiz2= −2+i;b) okręgu ośrodkuz=1+3iipromieniur=2;c) paraboliy=x2zawartej między punktamiz1= −1+iiz2=1+i;2id) stycznej do krzywejz(t)=t+dlat=1;e) stycznej do krzywejz(t)=t2+isintdlat.3zespolonej zmiennej rzeczywistejππ22t=π3) Obliczyćcałki funkcjia)∫(cost+2it)dtb)∫[1+(1+i)t]dt2c)∫e−itdt24. Obliczyća)sin(−2i) b cos(1+i) )c)ln( 3+i)d) ln(−2) 5. Wyznaczyćczęśćrzeczywistaa)f(z)=iz2+z;b)u(x,y) i częśćurojonąv(x,y) funkcji zespolonejf(z )if(z)=;c)f(z)=ezd)f(z)=sinz6. Wyznaczyćobszaryholomorficzności funkcjizzespolonej:a)f(z)=iz2+z;21b)f(z)=; c)f(z)=ezd)f(z)=sinze)f(z)=zRez2; f)f(z)=zez;g)z2f(z)=z eRez;7. Znaleźćfunkcjęholomorficznąf(z)=u(x,y)+iv(x,y) wiedząc,że−y; c)u(x,y)=e−ycosx−2x;d)v(x,y)=exsiny+2y22x+y8.Obliczyćpodane całki po zadanych łukach regularnych:a)∫ezz dzgdzieL+odcinek o początkuz1= −ii końcuz2=1;b)∫(3z+1)z dzgdzieL+1a)u(x,y)=2xy+y; b)v(x,y)=L+L+półokrągz=1Rez≥o początkuz1= −ii końcuz2=i;c)∫(z−z)dzgdzieL+łuk paraboliL+y=x2o początkuz1=1+ii końcuz2=d)∫eizdzgdzieL+dowolny łuk o początkuz1=iiL+końcuz2=;e)∫2zcos(iz2)dzgdzieL+dowolny łuk o początkuz1=L+π2i końcuz2=π2i;i;2L9. Wyznaczyćpunkty osobliwe funkcji zespolonejf(z) oraz określićich rodzaj. Wprzypadku biegunów określićich krotność:z1zsinza)f(z)=2; c)f(z)=2; b)f(z)=;d)f(z)=zsin .sinzz(z−1)(z2−4)3(z−π2)f(z)dzf(z)dz2πi(n)=2πif(z)lub∫=f(z)10.Stosując wzór całkowy Cauchyego∫n+1z−zn!(z−z)L+L+obliczyćcałkę+f)∫zsinzdzgdzieL+dowolny łuk o początkuz1=i końcuz2=πeza)∫dzgdzieL+okrągz−3i=2zorientowany dodatnio względem wnętrza.b)z(z−2i)L+ze2πz+∫+z2+1dzgdzieLtrójkąt o wierzchołkach0,1+2i,−1+2izorientowany dodatnio.c)LdzgdzieL+okrągz−2i=2zorientowany dodatnio względem wnętrza.d)∫(z2+9)2L+ezdz+∫+z(z−πi)3gdzieLokrągz−πi=1zorientowany dodatnio względem wnętrzaL11.Wyznaczyćresidua funkcjif(z ) w punktach osobliwych:z2z+111a)f(z)=2; b)f(z)=; c)f(z)=3;d)f(z)=2.(z−1)2z+1z−z5zcosz12.Korzystając twierdzenia całkowego o residuachobliczyćcałki:zdza)∫2gdzieL+okrągz=2zorientowany dodatnio względem wnętrza.b)z+2z+2L+dzz3dz+22∫+(z2−1)2(z2+1)gdzieLokrągx+y=2x+2yzorientowany dodatnioc)∫+z4−1gdzieLLezdzLokrągz=2zorientowany dodatnio względem wnętrza.d)∫2 2gdzieL+okrągz(z+1)L++z=2zorientowany dodatnio względem wnętrza13.Zastosowaćtwierdzenie całkowe o residuach do obliczenia całkiniewłaściwejx2+1a)∫4dx;−∞x+1+∞1b)∫4dx;−∞x+1+∞1c)∫2dx;3− ∞(x+1)+∞d)1∫∞(x2+2)(x2+5)dx−+∞Przekształcenie Laplaceaa)f(t)=dlat<;b)na każdym przedziale[0,T]dlaT>funkcjaf(t )ma skończonąliczbępunktówDf. Oryginałem Laplacea nazywamy funkcję zespolonązmiennej rzeczywistejf(t )dlat∈Rtaką,że nieciągłości pierwszego rodzaju;c)funkcjaf(t )jest rzędu wykładniczegoα≥co oznacza,że istniejąstałeM>iα≥takief(t)≤Meαtdlat≥.Df. Prostą transformatą Laplacea funkcji oryginalnejf(t )rzęduwykładniczegoα≥nazywamy funkcjęzespolonąF(z)=L[f(t)]=∫f(t)e−ztdt∞dlarez≥αMożna wykazać,że funkcja ta jestholomorficzna.Funkcjępostacidlat<1(t)=nazywamy funkcjąjednostkową(Hevisidea) jest to funkcja oryginalna1dlat≥1.zpodstawowych transformat funkcji oryginalnych takich,żef(t)=dlat<rzędu wykładniczego 1(t)α=i jej transformata wynosiL[1(t)]=f(t)Tabela1(t)tneλtsinωtcosωttneλteλtsinωteλtcosωtL[f(t)]1zn!zn+11z−λωz2+ω2zz2+ω2n!(z−λ)n+1ω(z−λ)2+ω2z(z−λ)2+ω2Własności transformaty Laplacea.Dla dowolnych funkcji oryginalnychf(t ) ig(t ) zachodząwzory;1)L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]2)L[f(ωt)]=1dlaa,b∈R(liniowość)zL[f(t)]( )dlaω∈C(zmiana skali)dlato>(przesunięcie argumentów oryginału)(przesunięcie argumentów transformaty)(pochodne transformaty)ωω3)L[1(t−t)f(t−t)]=e−ztL[f(t)](z)4)L[eλtf(t)]=L[f(t)](z−λ)dlaλ∈C5)L(n)[f(t)](z)=(−1)nL[tnf(t)](z)dlan∈N6)L[∫f(s)ds](z)=t1L[f(t)](z)z(transformata całki)7)L[f(n)(t)](z)=znL[f(t)](z)−zn−1f(0+)−zn−2f′(0+)−...−zf(n−2)(0+)−f(n−1)(0+)dlan∈N(transformata pochodnej oryginału) przy czym funkcjefLaplaceaDf. Splotem funkcji oryginalnychf(t ) ig(t )nazywamy funkcję oryginalną określoną wzorem(k)(t)dlak=1,2,...,nsąoryginałami(f∗g)(t)=(g∗f)(t)=∫f(τ)g(t−τ)dτdlat>Tw. Borela:Jeślifunkcjef(t ) ig(t ) sątoryginałami Laplacea toL[(f∗g)(t)]=L[f(t)]⋅L[g(t)]Df. Transformatą odwrotną funkcjizespolonej holomorficznejF(z ), która jest transformatąprostąfunkcji oryginalnejf(t ) rzęduwykładniczegoα≥nazywamy funkcjęokreślonąwzorem1f(t)=L[F(z)]=F(z)eztdz∫2πix−i∞−1x+i∞dlax≥αOdwrotna transformata Laplacea jestoperatorem liniowym co oznacza,żeL−1[aF(z)+bG(z)]=aL−1[F(z)]+bL−1[G(z)]dlaa,b∈RgdyL−1[F(z)]iL−1[G(z)]istnieją.Metody wyznaczania transformaty odwrotnej:a) Metoda rozkładu na ułamki proste. Gdy funkcja zespolonaF(z ) jest funkcjąwymiernąwłaściwąF(z)=Pm(z)dlam<ngdzie wielomianyPm(z )iQn(z )sąwielomianami stopniaQn(z)mino współczynnikach rzeczywistych oraz pierwiastki zespolone wielomianuQn(z )sąpojedyncze, to transformatęodwrotnąfunkcjiF(z ) łatwo odczytaćz rozkładu tej funkcji naułamki proste.b)Z twierdzenia Borela.Gdy funkcjeF(z ) iG(z ) majątransformaty odwrotne, toL−1[F(z)⋅G(z)]=L−1[F(z)]∗L−1[G(z)]c)Z twierdzenia o residuach.Jeśli funkcjaF(z ) jesttransformatąoryginałuf(t ) oraz jest holomorficzna w płaszczyźnie zespolonej z wyjątkiem [ Pobierz całość w formacie PDF ] |
Podobne
|