ALGEBRA Pytania na Egzamin ...ALGEBRA Pytania na Egzamin odpowiedzi 1.07, Algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań? Jeżeli f:A→B, g:B→C to (g ◦ f):A→C zdefiniowane wzorem ∀ aϵA (g ◦ f)(a)=g(f(a)) nazywamy złożeniem odwzorowań 2. Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań. Niech f:A→B , g:B→C - bijekcje wtedy (g ◦ f) -1 =f -1 ◦ g -1 Dowód: (g ◦ f) -1 (c)=a ⇔ (g ◦ f)(a)=c ⟺ f(a)=b ʌ g(b)=c (f -1 ◦ g -1 )(c)=a 1 ⟺ f -1 (g -1 (c))= a 1 ⟺ g -1 (c)=f(a 1 ) ⟺ c=g(f(a 1 ))=(g◦f)(a 1 ) ⟹ a=a 1 ⟹ f -1 ◦ g -1 =(g◦f) -1 3. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje? Niech f:A→B – bijekcja (warunek istnienia) Odwzorowanie g:B→A takie, że ∀ bϵB g(b)=a, f(a)=b ⇔ g=f -1 nazywamy odwrotnym do danego 4. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego? Niech z =x +y i , z =x +y i , |z | =|z | =m |z ∗z |=|x +y i∗x +y i |=|( x ∗x − y ∗ y )+(x ∗y +x ∗y )i|= ( x ∗x − y ∗y ) + ( x ∗y +x ∗y ) = x ∗x +y ∗y +x ∗y +x ∗y = ( x +y )( x +y ) =m∗m=m 5. Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na iloczyn dwóch liczb w tej postaci. |z|*e iϕ - postać wykładnicza funkcji zespolonej, gdzie: |z|- moduł liczby z e- liczba Eulera i- jednostka urojona ϕ-argument |z |∗e ∗|z |∗e =|z |∗|z |∗e ( ) 6. Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej . cosφ= e =cos ( −φ ) +sin ( −φ ) ∗i ⟺ e =cosφ+sinφ∗i e −cosφ=sinφ∗i e =cos ( φ ) −e +cosφ e =cos ( φ ) −sin ( φ ) ∗i ⟺ ⎧ e − e +e ⎧ sinφ= e − e 2i cosφ= e +e 2 2 =sinφ∗i cosφ= e +e 2 ⟺ ⟺ ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ e =0 ⇒ α 1 =...=α n =0 Niezależność wektorów opiera się na fakcie, że wyznacznik macierzy stworzonej z każdej pary wektorów jest ≠0. W tym wypadku: 1 4 2 3 ≠0, −2 4 3 −1 ≠0 ⟹ liniowo niezależne 8. Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni? Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów (ē 1 ,...,ē n ) liniowo niezależnych, które generują daną przestrzeń. Dwie bazy tej samej przestrzeni łączy liczba wektorów bazowych , sinφ= e =cosφ+sinφ∗i 7. Kiedy wektory e1,...en nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo niezależne? liniowo niezależne gdy ∀ α 1 ,...,α n ϵK ∑ α 2 −1 ≠0, 1 −2 9. Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego? Niech X,Y - przestrzenie wektorowe, (ē 1 ,...,ē n ) - baza w X, (Ē 1 ,...,Ē m ) - baza w Y T: X→Y - odwzorowanie liniowe. = a . Reprezentacja macierzowa odwzorowania T w danych bazach: a a … a ⋮ a a ⋮ a ⋮ … ⋮ a =A 10. Podać i uzasadnić wzór na iloczyn macierzy. X,Y,Z - przestrzenie wektorowe, , (ē 1 ,...,ē n ) - baza w X, (Ē 1 ,...,Ē m ) - baza w Y, ( Ɛ ,..., Ɛ ) - baza w Z T:X→Y, S:Y→Z, (S◦T):X→Z -odwzorowania liniowe, A- repr. odwz. T, B - repr. odwz. S (S◦T)( ̅ )=S(T( ̅ )), Niech C repr. macierz. odwz. (S◦T) ∀ jϵ{1,...,n} T(ē j )= a E (S◦T)(ē j )=S(T(ē j ))=S( a Ɛ E )= a S(E ) = a Ɛ = ( b a = c Ɛ c kj = b a C=B*A 11. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję iloczynu macierzy. Niech A – macierz n x m, B- macierz m x k (A*B) T =B T *A T Dowód: C=A*B, c ij = a b C T =(c ji ) c ij = a b ⟹c = a b = b a 12. Podać wzór na wyznacznik iloczynu macierzy. Niech A, B – macierze n x n det(A*B) = detA*detB 13. Podać rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy Niech A –macierz n x n ∗ gdzie i=1,2,…,n A ij = (−1) ∗ – dopełnienie algebraiczne elementu a ij M ij - minor macierzy A 14. Co nazywamy macierzą nieosobliwą? Jak można stwierdzić, czy macierz jest nieosobliwa? Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera k=1,2,…,n n – liczba niewiadomych x k – k-ta niewiadoma W- wyznacznik główny macierzy A kwadratowej, nieosobliwej Wx k – Wyznacznik otrzymany z wyznacznika głównego przez zastąpienie w nim k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych a … a ∀ iϵ{1,...,m} S(Ē i )= ∑ b ∑ b )Ɛ 15. Podać wzory Cramera na rozwiązanie układu równań liniowych. Objaśnić użyte symbole. x k = 16. Podać wzór na elementy macierzy odwrotnej. Objaśnić użyte symbole. Macierz A n x n nieosobliwa, B -1 =A = || i,j=1,..., n gdzie =element macierzy A 17. Co nazywamy rzędem macierzy? Jaki jest związek rzędu macierzy z jej wymiarem? Rzędem macierzy A nazywamy wymiar największej nieosobliwej podmacierzy kwadratowej A. Rząd macierzy A m x n ≤ min{m, n} 18. Jak możemy wyznaczyć rząd macierzy? A – macierz m x n (niezerowa, jeśli zerowa to r(A)=0). Liczymy podwyznaczniki macierzy A stopnia k dla k=min{m,n},…,1 do momentu otrzymania wartości niezerowej. Za rząd przyjmujemy stopień tego wyznacznika 19. Podać twierdzenie Sylvestera o rzędzie iloczynu macierzy. r(A*B) ≤ min{r(A), r(B)} 20. Podać i uzasadnić twierdzenie Kroneckera – Capelliego. = A ̅ = Powyższy układ ma conajmniej jedno rozwiązanie ⇔ r(A) = r(Au) Dowód: r(A) = r(Au) ⇒ kolumna ӯ jest liniowo zależna od pozostałych ⇒∃ α 1 ,…, α n ∑ = j = 1,…, m = j=1 ,…, m – układ równań r(A)≠r(Au) ⇒ kolumna ӯ jest liniowo niezależna od pozostałych ⇒ ӯ nie jest kombinacą linową = ⇔ zadany układ równań nie ma rozwiązania 21. Kiedy układ równań algebraicznych liniowych będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie dla każdej kolumny wyrazów wolnych? Odpowiedź uzasadnić. = A ̅ = Powyższy układ posiada rozwiązania ∀є⟺r(A)=m Dowód: r(A)=m⟹r(Au)=m r(A)<m ⟹∃dlaktóregor(Au)>r(A)⟹niemarozwiązania 22. Podać i uzasadnić związek między wyznacznikiem macierzy a wyznacznikiem macierzy odwrotnej. detA*detA -1 =1 det A -1 = wynika to z definicja macierzy odwrotnej A*A -1 = 23. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję macierzy odwrotnej. (A -1 ) T =( || * D T ) T = || * D 24. Jak określamy macierz przejścia z bazy (ej) do bazy (ei’)? X- przestrzeń wektorowa , dim X=n (ē 1 ,…, ē n ) – „stara” baza X (ē 1 ’,…, ē n ’) – „nowa” baza X Niech ē j = , wtedy macierz A jest macierzą przejścia A= ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ∗ +⋯+ ∗ = ⋮ ∗ +⋯+ ∗ = ∗ +⋯+ ∗ = ⋮ ∗ +⋯+ ∗ = 25. Podać związki miedzy współrzędnymi wektora w „starej” i „nowej” bazie. X- przestrzeń wektorowa , dim X=n (ē 1 ,…, ē n ) – „stara” baza X (ē 1 ’,…, ē n ’) – „nowa” baza X T- odwzorowanie liniowe T( ̅ ) = T( ) = ’ = ( ) ’ x i '= 26. Podać związki miedzy reprezentacjami macierzowymi odwzorowania liniowego w „starej” i „nowej” bazie. ̅ =∑ =∑ ′ ′ = ∑ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ = 27. Kiedy dwie macierze nazywamy równoważnymi? Co mają ze sobą wspólnego? T, T’ – macierze n x n Jeżeli istnieją macierze nieosobliwe A i B takie, że T’=BTA -1 , to macierze Ti T’ nazywamy równoważnymi Ich rzędzy są sobie równe r(T) = r(T’) 28. Kiedy macierz nazywamy ortogonalną? Macierz A kwadratową nieosobliwą nazywamy ortogonalną jeśli A -1 = A T 29. Podać i uzasadnić własności macierzy ortogonalnej. a) A T =A -1 (wynika z definicji) b) det Aє{-1, 1} det(AA T ) =detA*det(A T ) detA*det(A T )=det =1 det(A T )=detA ⟹ (detA) 2 =1 c) Iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną (AB)*(AB) T =A*B*B T *A T =A*A T = 30. Napisać równanie charakterystyczne dla macierzy 3x3. Dlaczego jego współczynniki nazywamy niezmiennikami? − − − =− + ∗ − ∗+ Współczynniki , , nazywamy Niezmiennikami ponieważ są one stałe w trakcie przekształceń 31. Co to są wartości i wektory własne macierzy? Niech A – macierz n x n, wektor w ≠0 i liczbę λ takie, że A* w = λ* w nazywamy odpowiednio wektorem własnym i wartością własną 32. Podaj twierdzenia o wartościach i wektorach własnych macierzy symetrycznej. a) Macierz n x n ma n wartości własnych rzeczywistych b)Niech λ i , λ j – wartości własne A, w i , w j – odpowiadające im wektory własne A. Wtedy: - jeżeli λ i ≠ λ j to w i ⟘w j - jeżeli λ i = λ j to ∀ α,β w =α w i + β w j , jeżeli w ≠0 to w jest wektorem własnym c)W układzie własnym ortonormalnym macierz A ma postać diagonalną a na przekątnej głownej są wartości własne d) Jeżeli λ 1 ≤ λ 2 ≤ … ≤ λ n - wartości własne A to w dowolnym układzi ortonormalnym ∀ i λ 1 ≤ a ii ≤ λ n ’ 33. Co to jest forma dwuliniowa? Co nazywamy jej reprezentacją macierzową? X- przestrzeń wektorowa nad ciałem K Odwzorowanie liniowe f:X→K nazywamy formą liniową ⇔ odwzorowanie a:X x X→K nazywamy formą dwuliniową jeśli: a) ∀x ϵX a( x , ⦁ ):X→K jest formą liniową b) ∀x ϵX a ( ⦁ , x) :X→K jest formą liniową Reprezentacja macierzowa formy dwuliniowej: Niech (ē 1 ,…, ē n )- baza przestrzeni X; a: X x X →R – forma dwulionowa a( x , y ) = (a ij ) i,j = 1,..,n 34. Kiedy formę dwuliniową nazywamy symetryczną a kiedy antysymetryczną? Formę dwuliniową a:X x X→K nazywamy formą symetryczną jeśli ∀ x , y ϵX a( x , y )=a (y , x ) antysymetryczną jeśli ∀ x , y ϵX a( x , y )= - a (y , x ) 35. Podać i uzasadnić twierdzenie o rozkładzie macierzy na część symetryczną i antysymetryczną. A= A s + A a gdzie A s – macierz symetryczna, A a - macierz antysymetryczna Dowód: A s = (A-A T ) ⟹A= A+ A T + A- A T =A 36. Co to jest forma kwadratowa? Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K. Formą kwadratową nazywamy odwzorowanie ϕ:X K dane wzorem q( x )=a( x , x ) 37. Podać definicję i własności reprezentacji macierzowej formy kwadratowej. W układzi e własnym reprezentacja macierzowa ma postać ortogonalną czyli forma kwadratowa przyjmuje postac: g( )= ∑ . Każda forma kwadratowa ma symetryczna reprezentację macierzową 38. Kiedy forma kwadratowa jest określona dodatnio, ujemnie, nieokreślona? Formę kwadratową ϕ:X R nazywamy określoną dodatnio, jeśli ∀xєX x ≠ 0 q( x )>0 Formę kwadratową ϕ:X R nazywamy określoną ujemnie, jeśli ∀xєX x ≠ 0 q( x )<0 Formę kwadratową ϕ:X R nazywamy nieokreśloną, jeśli ∃x , y єX q( x )<0<q( y ) 39. Jak można zbadać określoność formy kwadratowej? Poprzez sprawdzenie znaków wartości własnych reprezentacji macierzowej formy kwadratowej 40. Co nazywamy postacią kanoniczną formy kwadratowej? Czym są współczynniki w tej postaci? W układzie własnym macierzy ( ) forma kwadratowa ma postać kanoniczną g(x)= gdzie α i – wartość własna macierzy ( ) 41. Podać twierdzenie o znakach wartości własnych macierzy. Wszystkie wartości własne macierzy A n x n są dodatnie ⟺ ∀ kє{1,..., n} |A k |>0 Wszystkie wartości własne macierzy A n x n są ujemne ⟺ ∀ kє{1,..., n} (-1) n |A k |>0 42. Podać definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów. a ○b =| a || b | cos ⦟ ( a , b ) dla a , b ≠ 0 a ○ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Własności iloczynu skalarnego: 1) ∀ a , b ,c ( a + b )○ c = a ○ c + b ○ c 2) ∀ a , b ∀ αєR (α a )○ b = α( a○b ) = a ○(α b ) 3) ∀ a , b b ○ a = a ○ b 4) ∀ a a ○ a = |a| ≥ 0 5) ∀ a a ○ a = 0 ⟺ a = 0 6) ∀ a , b a ○ b = 0 ⟺ a = 0 v b = 0 v a⟘b , (A+A T ), A a = [ Pobierz całość w formacie PDF ] |
Podobne
|