, AM12 LZ, Analiza matematyczna 

AM12 LZ

AM12 LZ, Analiza matematyczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
MAP1148–ANALIZAMATEMATYCZNA1.2
Listyzadańnasemestrzimowy2009/10
Lista1
1.1.
Korzystając z denicji granicy właściwej ciągu uzasadnić podane równości:
√
2
n
+1
n
2
2
n
+1
3
−
n
n
+4
=
−
1;
a)
lim
n
→∞
=0;
b)
lim
n
→∞
√
n
+1
=2;
c)
lim
n
→∞
d)
lim
n
→∞
1
2
n
+5
=0;
e*)
lim
n
→∞
3
n
+1
n
+1
=2;
f*)
lim
n
→∞
1000
n
!
=0
.
1.2.
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć podane granice:
a)
lim
n
→∞
n
3
+2
n
2
+1
n
−
3
n
3
;
b)
lim
n
→∞
n
!+1
(2
n
+1)(
n
+1)!
;
c)
lim
n
→∞
3
(
n
3
+1)
20
;
√
3
8
n
+1
+3
2
n
+1
d)
lim
n
→∞
;
e)
lim
n
→∞
4
n
4
+16
−
n
;
f)
lim
n
→∞
n
2
+4
n
+1
−
n
2
+2
n
.
1.3.
Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć podane granice:
n
→∞
n
√
n
2
n
+1;
b)
lim
n
→∞
⌊
n
⌋
n
;
c)
lim
2
n
sin
n
3
n
+1
;
n
→∞
d)
lim
n
→∞
√
n
3
+1
+
1
√
n
3
+2
+
...
+
1
√
1
;
e)
lim
n
→∞
2
n
+(
−
1)
n
3
n
+2
;
f)
lim
n
→∞
n
3
n
+2
n
5
n
+4
n
.
3
3
3
n
3
+
n
1.4.
Korzystając z denicji liczby
e
oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane granice:
5
n
+2
5
n
+1
15
n
n
2
n
2
+1
n
2
3
n
+2
5
n
+2
n
5
n
+3
3
n
+1
n
a)
lim
n
→∞
;
b)
lim
n
→∞
;
c)
lim
n
→∞
;
3
n
3
n
+1
n
3
n
+1
3
n
+2
6
n
n
n
+1
n
d)
lim
n
→∞
;
e)
lim
n
→∞
;
f)
lim
n
→∞
.
1.5.
Korzystając z denicji granicy niewłaściwej ciągu uzasadnić podane równości:
n
→∞
log
2
(
n
+3)=
∞
;
b)
lim
n
4
−
1
=
∞
;
c)
lim
n
→∞
√
n
−
n
=
−∞
;
d)
lim
n
→∞
10
−
3
√
n
=
−∞
.
n
→∞
1.6.
Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć podane granice:
n
→∞
n
√
n
n
+5;
b)
lim
n
→∞
(3
n
cos
n
−
4
n
);
c)
lim
→
∞
(sin
n
−
2)
n
2
;
n
3
+
1
n
5
−
1
n
n
1
+
1
+
...
+
1
d)
lim
n
→∞
;
e)
lim
n
→∞
n
5
−
10
n
6
+1
;
f)
lim
n
→∞
√
√
⌊
√
.
n
1
2
n
⌋
1
n
20
+2
n
2
+1
a)
lim
a)
lim
a)
lim
1
Lista2
2.1.
Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć podane granice:
a)
lim
n
→∞
n
4
−
3
n
3
−
2
n
2
−
1
;
b)
lim
n
→∞
1
−
(
n
+1)!
n
!+2
;
c)
lim
n
→∞
√
3
−
cos
n
n
;
n
2
+1
n
n
+1
2
n
n
n
+1
n
[ln(
n
+1)
−
ln
n
]
.
d)
lim
n
→∞
;
e)
lim
n
→∞
;
f)
lim
n
→∞
2.2.
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć podane granice:
x
3
−
1
x
4
−
1
;
2
x
+1
3
x
+2
;
√
3
x
−
4
a)
lim
x
→
1
b)
lim
x
→∞
c)
lim
x
→
64
√
x
−
8
;
√
1+
x
−
√
tg
2
x
+1
tg
2
x
+5
;
e)
lim
1
−
x
x
6
−
1
1
−
x
2
.
d)
lim
x
→
2
;
f)
lim
x
→
1
−
x
→
0
2
x
2.3.
Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją podane granice funkcji:
x
→
0
x
sgn
x
;
b)
lim
2
1
x
3
;
c)
lim
x
→
2
⌊
3sin
x
⌋
;
x
→
0
d)
lim
x
→
2
x
2
−
4
|
x
−
2
|
;
e)
lim
|
x
−
1
|
3
x
3
−
x
2
;
f)
lim
sgn
x
1
−
x
2
.
x
→
1
x
→−
1
2.4.
Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości:
1
x
x
√
8
2
−
x
+sin
x
2
−
x
+cos
x
x
→
0
x
3
=0;
b)
lim
x
→∞
√
=2;
c)
lim
x
→−∞
=1;
x
2
d)
lim
x
→
0
+
√
x
cos
1
x
2
=0;
e)
lim
x
→∞
2+sin
x
x
2
=0;
f)
lim
x
→−∞
e
x
+sin
2
x
=0
.
2.5.
Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji obliczyć podane granice:
a)
lim
x
→∞
x
3
+2
x
2
+
x
−
100
;
b)
lim
x
→−∞
4
x
4
−
3
x
3
+2
x
2
−
x
+1
;
c)
lim
x
→
0
1
x
2
−
1
x
;
d)
lim
x
→−
1
3
x
+2
x
2
+2
x
+1
;
e)
lim
x
→∞
√
2
x
+1
−
√
x
+1
;
f)
lim
x
→∞
x
2
+2
−
x
.
2.6.
Korzystając z granic podstawowychwyrażeń nieoznaczonychobliczyć podane granice funkcji:
a)
lim
x
→
0
sin
2
3
x
x
2
;
b)
lim
x
→−∞
ln(1+2
x
)
3
x
;
c)
lim
x
→
0
+
2
x
−
1
4
√
x
−
1
;
d)
lim
x
→
0
[1+tg(2
x
)]
ctg
x
;
e)
lim
x
→
2
cos5
x
cos3
x
;
f)
lim
x
→
0
e
3
x
−
1
sin2
x
;
sin
x
2
sin
x
3
ln(1+
3
√
x
)
1
x
+2
2
x
−
1
g)
lim
x
→
0
;
h)
lim
x
→
0
;
i)
lim
x
→∞
1+
.
x
Lista3
3.1.
Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji:
a)
u
(
x
)=
x
3
+
x
2
x
2
−
4
;
b)
v
(
x
)=
x
−
3
√
x
2
−
9
;
c)
w
(
x
)=
sin
x
x
−
;
√
d)
z
(
x
)=
cos(
x
)
1+
x
2
x
x
3
(
x
+1)
2
;
2
x
−
8
;
e)
f
(
x
)=
;
f)
g
(
x
)=
2
a)
lim
a)
lim
3.2.
Dobrać parametry
a,b
∈
8
<
R tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:
:
sin
x
dla
|
x
|
2
, x
1
=
−
2
,
x
2
+
ax
+
b
dla
|
x
|
<
2
, x
1
=
−
2
,
x
a)
f
(
x
)=
b)
f
(
x
)=
√
x
2
−
4 dla
|
x
|
2
, x
2
=2;
ax
+
b
dla
|
x
|
<
2
, x
2
=
2
;
<
:
a
sin
x
+
b
cos
x
dla
|
x
|
>
4
, x
1
=
−
4
,
:
bx
dla
x<,
c)
f
(
x
)=
d)
f
(
x
)=
sin
x
ax
dla
x
, x
0
=
.
1+tg
x
dla
|
x
|
4
, x
2
=
4
;
3.3.
Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie
a
(jeżeli istnieją) dla funkcji o podanych wykresach:
a)
y
b)
y
c)
y
y
=
f
(
x
)
y
=
f
(
x
)
y
=
f
(
x
)
a
x
a
x
a
x
d)
y
e)
y
f)
y
y
=
f
(
x
)
y
=
f
(
x
)
y
=
f
(
x
)
a
x
a
x
a
x
3.4.
Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:
8
<
8
<
:
x
2
−
1
x
−
1
dla
x
∈
(0
,
1)
∪
(1
,
∞
)
,
3 dla
x
=1
,
:
|
x
|
+
x
x
2
dla
x
=0
,
0 dla
x
=0
, x
0
=0;
a)
f
(
x
)=
b)
f
(
x
)=
x
0
=1;
8
<
:
1
−
cos
1
x
dla
x
=0
,
0 dla
x
=0
, x
0
=0
.
c)
f
(
x
)= sgn
x
(
x
−
1)
, x
0
=1;
d)
f
(
x
)=
3.5.
Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia ekstre
malne mają rozwiązania:
a)
wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu
r
istnieje ten, który ma największą objętość;
b)
wśród trójkątów prostokątnychwpisanych w koło o promieniu
r
istnieje ten, który ma największy obwód;
c)
wśród prostokątów opisanych na danej elipsie istnieje ten, który ma najmniejsze i największe pole.
3.6.
Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:
a)
x
3
+6
x
−
2=0
,
(0
,
1);
b)
x
sin
x
=7
,
2
,
5
2
;
c)
1=
sin
x
2
+
x,
0
,
2
;
d)
x
100
+
x
−
1=0
,
1
2
,
1
;
e)
3
x
+
x
=3
,
(0
,
1);
f)
x
2
x
=1
,
(0
,
1).
Wyznaczyć rozwiązania równań
a)
,
d)
i
f)
z dokładnością 0
.
125
.
3
8
<
√
Lista4
4.1.
Korzystając z denicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
a)
f
(
x
)=
|
x
−
1
|
,
x
0
=1;
b)
f
(
x
)=2
x
−|
x
|
,
x
0
=0;
c)
f
(
x
)=
|
x
−
|
3
sin
x
,
x
0
=
;
x
2
dla
x
2
,
2
x
dla
x>
2
,
8
<
2
,
1 dla
x>
:
x
2
arctg
1
dla
x
=0
,
d)
f
(
x
)=
e)
f
(
x
)=
f)
f
(
x
)=
x
:
2
,
0 dla
x
=0
,
x
0
=
x
0
=2;
2
;
x
0
=0
.
Naszkicować wykresy funkcji
a)
,
b)
,
d)
i
e)
.
4.2.
Korzystając z denicji obliczyć pochodne funkcji:
a)
f
(
x
)=
x
2
−
3
x
, gdzie
x
∈
R;
b)
f
(
x
)=
1
x
+1
, gdzie
x
=
−
1;
c)
f
(
x
)=
√
x
, gdzie
x>
0;
d)
f
(
x
)=tg
x
, gdzie
x
=
2
+
k
dla
k
∈
Z.
4.3.
Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych
punktach:
a)
f
(
x
)=
x
2
−
x
, x
0
=1;
b)
f
(
x
)=sin
x
sgn(
x
)
, x
0
=0;
:
tg
x
dla
−
2
<x
0
,
sin
x
dla 0
<x<
:
x
(
x
−
1)
dla
x<
1
,
c)
f
(
x
)=
x
0
=0;
d)
f
(
x
)=
2
x
0
=1.
√
2
,
x
−
1 dla
x
1
,
Naszkicować wykresy tych funkcji.
4.4.
Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie
x
0
=0:
a)
f
(
x
)=3
−
5
√
x
;
b)
f
(
x
)=tg
3
√
x
;
c)
f
(
x
)=
|
sin
x
|
;
d)
f
(
x
)=
|
x
|
+
|
x
|
.
4.5.
Korzystając z reguł różniczkowaniaobliczyć pochodne funkcji:
a)
y
=
x
3
+
1
x
2
e
x
;
b)
y
=
1+
4
√
x
tg
√
x
;
c)
y
=
e
x
arctg
x
;
d)
y
=ln
sin
2
x
+1
;
e)
y
=
3
arcsin(
x
2
);
f)
y
=
e
e
x
;
g)
y
=
2
sin
2
x
3
cos
2
x
;
h)
y
=
x
tg
x
;
i)
y
=
x
√
x
.
4.6.*
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć
f
−
1
(
y
0
), jeżeli:
a)
f
(
x
)=
x
+ln
x
,
y
0
=
e
+1;
b)
f
(
x
)=cos
x
−
3
x
,
y
0
=1;
c)
f
(
x
)=
3
√
x
+
5
√
x
+
7
√
x
,
y
0
=3;
d)
f
(
x
)=
x
3
+3
x
,
y
0
=4.
funkcji:
a)
f
(
x
)=4
x
7
−
5
x
3
+2
x
;
b)
f
(
x
)=
x
3
−
2
′
,
f
′′
,
f
′′′
x
;
c)
f
(
x
)=
e
x
x
;
d)
f
(
x
)=arctg
x
;
e)
f
(
x
)=sin
3
x
+cos
3
x
;
f)
f
(
x
)=
x
3
ln
x
.
4.8.
Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
4
sin
x
dla
x
8
<
8
<
8
<
4.7.
Obliczyć
f
a)
f
(
x
)=arcsin
x
2
,
(1
,f
(1));
b)
f
(
x
)=ln
x
2
+
e
,
(0
,f
(0));
c)
f
(
x
)=
e
tg
x
,
4
,f
4
;
d)
f
(
x
)=
√
2
x
+1
,
(3
,f
(3));
e)
f
(
x
)=
2
x
1+
x
2
,
√
2
,f
√
2
;
f)
f
(
x
)=
x
√
x,
(
e,f
(
e
)).
Lista5
5.1.
Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:
a)
3
√
7
.
999;
b)
√
3
.
98
;
c)
ln
2001
2000
;
d)
ln0
.
9993;
e)
e
0
.
04
;
f)
arccos0
.
499.
5.2.
Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:
a)
|
arctg
x
−
arctg
y
||
x
−
y
|
dla
a,b
∈
R;
b)
ln
y
x
<y
−
x
dla 1
a<b
;
c)
x
arcsin
x
x
√
1
−
x
2
dla 0
x<
1;
d)
e
x
>ex
dla
x>
1.
5.3.
Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’adla podanych funkcji
f
, punktów
x
0
oraz
n
:
a)
f
(
x
)=
x
3
,
x
0
=
−
1,
n
=4;
b)
f
(
x
)=
1
x
2
,
x
0
=1,
n
=2;
c)
f
(
x
)=sin2
x
,
x
0
=
,
n
=3;
d)
f
(
x
)=
e
−
x
,
x
0
=0,
n
=5;
e)
f
(
x
)=
1
x
,
x
0
=2,
n
=3;
f)
f
(
x
)=ln
x
,
x
0
=
e
,
n
=4.
5.4.
Napisać wzory Maclaurina z
n
tą resztą Lagrange’a dla funkcji:
a)
f
(
x
)=sin
x
e
x
.
5.5.
Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanychprzedziałach:
a)
tg
x
≈
x
,
|
x
|
12
;
b)
cos
2
x
≈
1
−
x
2
,
|
x
|
0
.
1;
c)
√
1+
x
≈
1+
x
2
−
x
2
8
,
|
x
|
0
.
25;
d)
ln(1
−
x
)
≈−
x
−
x
2
−
x
3
3
,
|
x
|
<
0
.
1.
2
5.6.
Stosując wzór Maclaurina obliczyć:
a)
1
e
z dokładnością 10
−
3
;
b)
3
√
0
.
997 z dokładnością 10
−
3
;
c)
ln1
.
1 z dokładnością 10
−
4
;
d)
sin0
.
1 z dokładnością 10
−
5
.
Lista6
6.1.
Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć granice:
ln(2
x
+1)
x
lnsin
2
x
ln
x
x
−
arctg
x
x
2
a)
lim
x
→∞
;
b)
lim
x
→
1
;
c)
lim
x
→
0
;
d)
lim
x
→
1
x
10
−
10
x
+9
x
5
−
5
x
+4
;
e)
lim
x
→
0
lncos
x
lncos3
x
;
f)
lim
x
→∞
x
arcctg
x
;
g)
lim
x
→
0
+
x
ln
x
;
h)
lim
x
→
−
(
−
x
)tg
x
2
;
i)
lim
x
→
0
−
1
x
−
ctg
x
;
1
x
;
2
arctg
x
x
j)
lim
x
→
0
(cos
x
)
k)
lim
x
→∞
;
l)
lim
x
→
0
+
(1+
x
)
ln
x
.
5
1
3
;
b)
f
(
x
)= ch
x
;
c)
f
(
x
)=cos
x
;
d)
f
(
x
)=
x
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • dodatni.htw.pl
    		•