AM1 - DEFINICJEAM1 - DEFINICJE, INFORMATYKA - ROK 1, Analiza matematyczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
0. ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE 0.1 ZBIORY LICZB N = – zbiór liczb naturalnych { } 2 ,... Z = 0 ± ± 1 2 ,... – zbiór liczb całkowitych Q = ⎧ p : p ∈ Z , q ∈ N ⎫ – zbiór liczb wymiernych q R – zbiór liczb rzeczywistych 0.2 ZBIORY OGRANICZONE Def. 0.2.1 (zbiór ograniczony z dołu) Zbiór A ⊂ R jest ograniczony z dołu, jeżeli m ∨ ∈ R x ∧ A x ≥ m . Liczbę m nazywamy ograniczeniem z dołu zbioru A . Obrazowo, zbiór jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego elementy leżą na prawo od pewnego punktu osi liczbowej. Def. 0.2.2 (zbiór ograniczony z góry) Zbiór A ⊂ R jest ograniczony z góry, jeżeli M ∨ ∈ R x ∧ A x ≤ M . Liczbę M nazywamy ograniczeniem z góry zbioru A . Obrazowo, zbiór jest ograniczony z góry, gdy wszystkie jego elementy leżą na lewo od pewnego punktu osi liczbowej. Def. 0.2.3 (zbiór ograniczony) Zbiór A ⊂ R jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z dołu i z góry, tzn. M m ∨ ∈ R x ∧ ∈ A m ≤ x ≤ . Uwaga . W definicji można tak dobrać stałe m i M , aby 0 < M = - m . Wtedy M x ∈ A x ≤ . Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej. 0.3 KRESY ZBIORÓW Def. 0.3.1 (element najmniejszy zbioru) Liczba a jest najmniejszym elementem zbioru A ⊂ R , co zapisujemy A a min = , wtedy i tylko wtedy, gdy a ∈ oraz A x ∈ A x ≥ a . Obrazowo, elementem najmniejszym zbioru nazywamy element tego zbioru leżący najbardziej w lewo na osi liczbowej. Def. 0.3.2 (element największy zbioru) Liczba a jest największym elementem zbioru A ⊂ R , co zapisujemy a max = , A wtedy i tylko wtedy, gdy a ∈ oraz A x ∈ A x ≤ a . Obrazowo, elementem najmniejszym zbioru nazywamy element tego zbioru leżący najbardziej w prawo na osi liczbowej. Def. 0.3.3 (kres dolny zbioru) Niech zbiór A ⊂ R będzie niepusty i ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym tego zbioru, co zapisujemy A a inf = , wtedy i tylko wtedy, gdy ∈ A x ≥ a oraz ε ∧ 0 0 x ∨ ∈ A x 0 < a + ε . Obrazowo, kres dolny zbioru jest największą liczbą ograniczającą ten zbiór z dołu. Jeżeli zbiór A jest nieograniczony z dołu, to przyjmujemy 1 { } ∈ ∈ , M x > inf A def − ∞ . Def. 0.3.4 (kres górny zbioru) Niech zbiór B ⊂ R będzie niepusty i ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym tego zbioru, co zapisujemy B b su= , wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ B x ≤ b oraz ε ∧ > 0 0 x ∨ ∈ B x 0 > b − ε . Obrazowo, kres górny zbioru jest najmniejszą liczbą ograniczającą ten zbiór z góry. Jeżeli zbiór B jest nieograniczony z góry, to przyjmujemy sup B def ∞ . Uwaga . Najmniejszy element zbioru jest jednocześnie kresem dolnym tego zbioru. Analogicznie, największy element zbioru jest jego kresem górnym. Fakt 0.3.5 (aksjomat ciągłości) Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny. Każdy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny. 0.4 FUNKCJE – PODSTAWOWE OKREŚLENIA Def. 0.4.1 (funkcja) Niech zbiory X, Y ⊂ R będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowa- nie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y . Funkcję taką oznaczamy przez f → Y . Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x) . : . Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f , a zbiór Y nazywamy jej przeciwdzie- dziną. Ponadto zbiór f → Y ( nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez W f . Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór elementów z R , dla których wzór ten ma sens liczbowy, nazywamy dziedziną naturalną funkcji. { f x ) ∈ : Y x ∈ D f } Def. 0.4.3 (wykres funkcji) Wykresem funkcji f → : Y nazywamy zbiór { ( x , y ) ∈ R 2 : x ∈ X , y = f ( x ) . Uwaga . Podzbiór płaszczyzny xOy jest wykresem pewnej funkcji zmiennej x , gdy każda prosta pionowa przecina go co najwyżej w jednym punkcie. Def. 0.4.4 (funkcja „na”) Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y , co notujemy f : X ⎯ n ⎯→ Y , wtedy i tylko wtedy, gdy W f = , tzn. Y y ∧ ∈ Y x ∨ X f ( x ) = y . Funkcja f → Y jest „na”, gdy rzut prostokątny jej wykresu na oś Oy pokrywa się ze zbiorem Y . 0.5 FUNKCJE OKRESOWE, PARZYSTE I NIEPARZYSTE Def. 0.5.1 (funkcja okresowa) Funkcja f → R jest okresowa, jeżeli T ∨ 0 x ∧ X ( x ± T ∈ X oraz f ( x + T ) = f ( x ) ) . Liczbę T nazywamy okresem funkcji f . Jeżeli istnieje najmniejszy okres funkcji f , to nazywamy go okresem podstawowym. Obrazowo, funkcja jest okresowa, gdy jej wykres po przesunięciu o wektor v = r ( T , nałoży się na siebie. Def. 0.5.2 (funkcja parzysta) Funkcja f → R jest parzysta, jeżeli : Def. 0.4.2 (dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości funkcji) Niech ∈ : : > ∈ : x ∈ X ( − x ∈ X oraz f ( − x ) = f ( x ) ) . Obrazowo, funkcja jest parzysta, gdy oś Oy jest osią symetrii jej wykresu. Def. 0.5.3 (funkcja nieparzysta) Funkcja X R jest nieparzysta, jeżeli x ∈ X ( − x ∈ X oraz f ( − x ) = − f ( x ) ) . Obrazowo, funkcja jest nieparzysta, gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu. 0.6 FUNKCJE OGRANICZONE Def. 0.6.1 (funkcja ograniczona z dołu) Funkcja f jest ograniczona z dołu na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu, tzn. m m ∨ R x ∧ ∈ A f ( x ) ≥ . Obrazowo, funkcja jest ograniczona z dołu, gdy jej wykres leży nad pewną prostą poziomą (rys. 0.6.1). Rys. 0.6.1 Ilustracja wykresu funkcji ograniczonej z dołu na zbiorze Def. 0.6.2 (funkcja ograniczona z góry) Funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry, tzn. M m ∨ ∈ R x ∧ ∈ A f ( x ) ≤ . Obrazowo, funkcja jest ograniczona z dołu, gdy jej wykres leży pod pewną prostą poziomą (rys. 0.6.2). Rys. 0.6.2 Ilustracja wykresu funkcji ograniczonej z góry na zbiorze Def. 0.6.3 (funkcja ograniczona) Funkcja f jest ograniczona na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze, tzn. M m , ∨ ∈ R x ∧ A m ≤ f ( x ) ≤ . Uwaga . W definicji można tak dobrać stałe m i M , aby 0<M=-m . Wtedy M x ∈ A f ( x ) ≤ . Obrazowo, funkcja jest ograniczona, gdy jej wykres jest położony między dwiema prostymi poziomymi. 0.7 FUNKCJE MONOTONICZNE Def. 0.7.1 (funkcja rosnąca) Funkcja f jest rosnąca na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli ] x ∧ ∈ A [ ( ) ( x l < x 2 ⇒ f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ) . 1 Obrazowo, funkcja jest rosnąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie wznosimy się do góry. Def. 0.7.2 (funkcja malejąca) Funkcja f jest malejąca na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli ( ) ( ) ] x ∧ ∈ A [ x l < x 2 ⇒ f ( x 1 ) > f ( x 2 ) . 1 Obrazowo, funkcja jest malejąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie opadamy na dół. f → : ∈ M ∈ , 2 x , 2 x Def. 0.7.3 (funkcja niemalejąca) Funkcja f jest niemalejąca na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli ( ) ( x , 2 ∧ ∈ A [ x l < x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) ) ] . 1 Obrazowo, funkcja jest niemalejąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie wznosimy się lub pozostajemy na tym samym poziomie. Def. 0.7.4 (funkcja nierosnąca) Funkcja f jest malejąca na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli ] x , 2 ∧ ∈ A [ ( ) ( x l < x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) ) . 1 Obrazowo, funkcja jest nierosnąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie opadamy lub pozostajemy na tym samym poziomie. Def. 0.7.5 (funkcja monotoniczna) Funkcja f jest monotoniczna na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli jest rosnąca lub malejąca lub nierosnąca lub też niemalejąca na tym zbiorze. 0.8 ZŁOŻENIA FUNKCJI Def. 0.8.1 (funkcja złożona) Niech zbiory X, Y, Z, W ⊂ R będą niepuste, przy czym Y ⊂ Z oraz niech f → : X Y , g → Z W . Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g → o określoną wzorem: : X W ( g o f )( x ) def = g ( ) f ( x ) dla x ∈ . X Uwaga . Analogicznie określa się złożenie większej liczby funkcji. Składanie funkcji nie jest przemienne. 0.9 FUNKCJE ODWROTNE Def. 0.9.1 (funkcja różnowartościowa) Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli: ( ) ( x , 2 ∧ ∈ x A [ x l ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) ) ] . 1 Obrazowo, funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A , gdy każda prosta pozioma przecina fragment wykresu leżący nad lub pod zbiorem A co najwyżej w jednym punkcie. Uwaga . Przy sprawdzaniu różnowartościowości funkcji wygodnie jest korzystać z definicji równoważnej ( ) ( x , 2 ∧ ∈ A [ x l = x 2 ⇒ f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ) ] . 1 Fakt 0.9.2 (warunek wystarczający różnowartościowości funkcji) Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca na zbiorze, to jest różnowartościowa na tym zbiorze. Uwaga . Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Def. 0.9.3 (funkcja odwrotna) Niech funkcja f : X n ⎯→ Y będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f → 1 : Y X określoną przez warunek: def − 1 , gdzie x ∈ X , y ∈ Y . Wykres funkcji f -1 otrzymujemy z wykresu funkcji f odbijając go symetrycznie względem prostej y=x oraz zamieniając między sobą jednocześnie nazwy osi x ↔ y . Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest funkcją rosnącą. Funkcja odwrotna do funkcji malejącej jest funkcją malejącą. f ( y ) = x ⇔ y = f ( x ) Fakt 0.9.4 (o składaniu funkcji prostej i odwrotnej) Niech funkcja f : X n ⎯→ Y będzie różnowartościowa. Wtedy ( ) x ∧ f − 1 f ( x ) = oraz ( ) y ∧ f f − 1 ( y ) = . x ∈ X y ∈ Y x x : f x ⎯ − ⎯ 0.10 FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE Def. 0.10.1 (arkus sinus) Funkcją arcsin nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sin określonej na przedziale ⎡ − π , π ⎤ . Dziedziną funkcji arcsin jest ⎣ ⎦ 2 2 przedział [-1,1]. Def. 0.10.2 (arkus cosinus) Funkcją arccos nazywamy funkcję odwrotną do funkcji cos określonej na przedziale [0,π]. Dziedziną funkcji arccos jest przedział [-1,1]. Def. 0.10.3 (arkus tangens) Funkcją arctg nazywamy funkcję odwrotną do funkcji tg określonej na przedziale ⎛ − π , π ⎠ . Dziedziną funkcji arctg jest R . 2 2 Def. 0.10.4 (arkus kotangens) Funkcją arcctg nazywamy funkcję odwrotną do funkcji ctg określonej na przedziale (0,π). Dziedziną funkcji arcctg jest R . Rys. 0.10.1 f ( x ) = arcsin x Rys. 0.10.2 f ( x ) = arccos x Rys. 0.10.3 f ( x ) = arctg x Rys. 0.10.4 f ( x ) = arcctg x Fakt 0.10.5 (tożsamości z funkcjami cyklometrycznymi) arcsin x + arccos x = π dla każdego x ∈ [-1,1], 2 π dla każdego x ∈ R . arctg x + arcctg x = 2 0.11 FUNKCJE ELEMENTARNE Def. 0.11.1 (funkcje elementarne) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji, nazywamy funkcjami elementarnymi. Def. 0.11.2 (wartość bezwzględna) Wartością bezwzględną (modułem) nazywamy funkcję • : R → R określoną wzorem: x = ⎧ x & dla x ≥ 0 . ⎩ − x dla x < 0 Uwaga . Moduł jest funkcją elementarną, gdyż x = dla każdego x ∈ R . x 2 Def. 0.11.3 (wielomian) Wielomianem nazywamy funkcję W → : R określoną wzorem − K , gdzie n ∈ N ∪ {0} , a i ∈ R dla 0 ≤ i ≤ n oraz a n ≠ 0 . Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu W i oznaczamy przez st W . Przyjmujemy dodatkowo, że W ( x ) ≡ 0 jest wielomianem stopnia -∞. W ( x ) = a x n + a x n − 1 + + a x + a n n 1 1 0 Def. 0.11.4 (funkcja wymierna) Funkcję, którą można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów nazywamy funkcją wymierną. ⎝ ⎞ [ Pobierz całość w formacie PDF ] |
Podobne
|