AM2 NOWA Lista Zadań

AM2 NOWA Lista Zadań, 4] Polibuda INF W4, Analiza Matematyczna 2.3A

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadaniazanalizymatematycznej2
SemestrL2013/14
Maciej Burnecki
Uwaga: lista jest uzupełniana, obecnie w komplecie podane s¡ zadania z rozdziałów 1-5
Spistre±ci
1Całkiniewła±ciwepierwszegorodzaju
2
1.1
Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2Całkiniewła±ciwedrugiegorodzaju
4
2.1
Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3Szeregiliczbowe
5
3.1
Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4Szeregipot¦gowe
6
4.1
Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5Funkcjewieluzmiennych—podstawy,graniceici¡gło±¢ 7
5.1
Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6Rachunekró»niczkowyfunkcjiwieluzmiennych–podstawy 8
6.1
Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7Ekstremalokalneiglobalne
10
7.1
Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
7.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
8Całkipodwójne–ogólnie
11
8.1
Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
8.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
9Całkipodwójne–współrz¦dnebiegunowe
12
9.1
Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
9.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1
10Całkipotrójne–ogólnie
12
10.1 Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
10.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
11Całkipotrójne–współrz¦dnewalcowe
13
11.1 Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
11.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
12Całkipotrójne–współrz¦dnesferyczne
14
12.1 Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
12.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
13PrzekształcenieLaplace’a
14
13.1 Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
13.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14PrzekształcenieFouriera
15
14.1 Zadania
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
14.2 Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Symbolem
zostały oznaczone zadania trudniejsze lub nieobowi¡zujace.
1Całkiniewła±ciwepierwszegorodzaju
1.1Zadania
1.1. Korzystaj¡c z kryterium porównawczego, zbada¢ zbie»no±¢ całki
R
2+cos
x
(a)
x
3
2
dx,
1
R
x
2
arctg
x
(b)
p
1+
x
7
dx,
0
R
1
(c)
x
3
+
2
arctg
x
2
dx,
p
1
R
cos
2
x
(d)
x
+sin
x
2
dx.
2
1.2. Korzystaj¡c z kryterium ilorazowego, zbada¢ zbie»no±¢ całki
R
sin
4
1
8
p
x
dx,
(a)
1
R
2
−
sin
1
x
(b)
3
p
x
2
dx,
1
R
25
x
8
−
9
x
2
+3
(c)
x
7
−
x
2
+1
dx.
1
R
1000
x
(d)
(2
x
+1)
10
dx
0
R
ln
(
1+
1
x
)
x
(e)
dx.
1
1.3. Zbada¢ zbie»no±¢ całki
p
x
sin
1
x
dx,
R
(a)
1
2
R
e
1
x
−
1
(b)
p
x
dx.
1
1.4. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ całki
R
3cos(4
x
)
−
2sin
(
x
6
)
(a)
x
2
−
x
+1
dx,
0
R
x
2
−
5arctg
x
(b)
p
x
5
+cos
x
+1
dx,
0
R
sin
x
(c)
x
2
dx.
0
1.5. Obliczy¢ całk¦ i jej warto±¢ główn¡, o ile która± z tych wielko±ci istnieje:
R
1
(a)
1+
x
2
dx,
−1
R
−1
e
−|
x
|
dx,
(b)
R
−1
x
sin
x dx,
(c)
R
−1
x
cos
x dx.
(d)
1.2Odpowiedzi,wskazówki
1.1. (a) Zbie»na,
(b) zbie»na,
(c) zbie»na,
(d) rozbie»na do
1
.
1.2. (a) Rozbie»na do
1
,
(b) rozbie»na do
1
,
(c) zbie»na,
(d) zbie»na,
(e) zbie»na.
1.3. (a) Rozbie»na do
1
,
(b) zbie»na.
1.4. (a) Zbie»na bezwzgl¦dnie (wi¦c zbie»na),
(b) całka jest rozbie»na do
1
i nie jest zbie»na bezwzgl¦dnie,
(c) zbie»na bezwzgl¦dnie (wi¦c zbie»na).
1.5. (a) całka jest równa
, zatem tyle samo wynosi warto±¢ główna,
(b) całka jest równa 2, zatem tyle samo wynosi warto±¢ główna,
(c) ani całka, ani warto±¢ główna całki nie istniej¡,
(d) całka nie istnieje, warto±¢ główna całki wynosi 0.
3
2Całkiniewła±ciwedrugiegorodzaju
2.1Zadania
2.1. Dwoma sposobami, za pomoc¡ kryterium porównawczego oraz ilorazowego, zbada¢ zbie»-
no±¢ całki
2
R
1
(a)
cos
x
dx,
0
1
R
1
(b)
sin(
x
4
)
dx,
0
1
R
1
(c)
sin
p
x
dx.
0
2.2. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ całki
R
x
sin
1
x
dx,
(a)
0
1
R
cos
1
x
(b)
x
arctg
x
dx.
0
2.3. Obliczy¢ całk¦ i jej warto±¢ główn¡, o ile która± z tych wielko±ci istnieje:
1
R
1
(a)
x
dx,
−
1
1
R
1
(b)
x
2
dx,
−
1
1
R
1
3
p
(c)
x
2
dx,
−
1
(d)
1
R
−
1
|
x
|
ln
|
x
|
dx,
2.2Odpowiedzi,wskazówki
2.1. Dla kryterium porównawczego mo»na wykorzystac nierówno±ci
2
x <
sin
x < x
, zachodz¡ce
dla 0
< x <
2
.
(a) rozbie»na do
1
,
(b) rozbie»na do
1
,
(c) zbie»na.
2.2. (a) zbie»na bezwzgl¦dnie (wi¦c zbie»na),
(b) zbie»na bezwzgl¦dnie (wi¦c zbie»na).
2.3. (a) całka rozbie»na (nie istnieje), warto±¢ główna wynosi 0,
(b) całka i warto±¢ główna nie istniej¡,
(c) całka wynosi 6, zatem warto±¢ główna tyle samo,
(d) całka wynosi
−
1
2
, zatem warto±¢ główna tyle samo.
4
3Szeregiliczbowe
3.1Zadania
3.1. Wykorzystuj¡c warunek konieczny zbie»no±ci, wykaza¢ rozbie»no±¢ szeregu
P
arctg
n
(a)
arccos
1
n
,
n
=1
n
1
−
n
n
P
(b)
.
n
=2
3.2. Korzystaj¡c z kryterium d’Alemberta, zbada¢ zbie»no±¢ szeregu
P
(
−
1)
n
(2
n
)!
(a)
6
n
(
n
!)
2
,
n
=1
P
n
=1
n
sin
1
3
n
,
(b)
P
(
−
1)
n
n
10
(c)
10
n
.
n
=2
3.3. Korzystaj¡c z kryterium Cauchy’ego, zbada¢ zbie»no±¢ szeregu
P
(
−
1)
n
(a)
(arctg(2
n
+1))
n
,
n
=1
P
−
3
n
+7
n
(b)
2
n
+3
n
+4
n
+5
n
+6
n
.
n
=1
3.4. Zbada¢ zbie»no±¢ i ewentualnie okre±li¢ jej rodzaj, dla szeregu
n
p
P
n
=1
(
−
1)
n
2
(a)
n
,
P
n
=1
cos(
n
) tg
1
n
,
(b)
n
n
+1
(
n
2
)
P
2
n
,
(c)
n
=1
P
n
!(
−
2)
n
(d)
n
,
n
=1
n
+2
n
(
n
2
)
P
1
5
n
(e)
.
n
=1
3.2Odpowiedzi,wskazówki
n
!1
a
n
=
2
6
= 0,
3.1. (a)
lim
n
!1
|
a
n
|
=
e
6
= 0.
3.2. (a) Zbie»ny bezwzgl¦dnie,
(b) zbie»ny bezwzgl¦dnie,
(c) zbie»ny bezwzgl¦dnie.
(b)
lim
3.3. (a) Zbie»ny bezwzgl¦dnie,
(b) rozbie»ny do
1
.
3.4. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregu
(a) Zbie»ny warunkowo.
Wskazówka:
do pokazania zbie»no±ci zastosowa¢ kryterium Leib-
niza, a do pokazania rozbie»no±ci
sz
eregu modułów wykorzysta¢ rozbie»no±¢ szeregu
harmonicznego i nierówno±¢ 1
<
n
p
2,
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

dodatni.htw.pl

Podobne