, AMI 2005 zaliczenie arkusze 1-4, Studia, Politechnika Łódzka - Pendrive, Analiza matematyczna 

AMI 2005 zaliczenie arkusze 1-4

AMI 2005 zaliczenie arkusze 1-4, Studia, Politechnika Łódzka - Pendrive, Analiza matematyczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ARKUSZI
ANALIZAMATEMATYCZNAI
CIGILICZBOWE
Zad.
1
.
Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce ci¡gi s¡ monotoniczne:
1)
a
n
=
n
n
2
+ 1
,
2)
b
n
=
n
2
−
3
n
2
+ 1
,
3)
c
n
=
n
(
−
2)
n
,
4)
d
n
=
2
n
n
!
,
5)
e
n
=
n
3
n
,
6)
f
n
=
1
(2
n
)!
,
7)
g
n
=
n
(
−
1)
n
,
8)
h
n
= cos(
n
)
,
9)
i
n
= 2
p
n
.
Zad.
2
.
?
Korzystaj¡c z definicji granicy ci¡gu wykaza¢, »e
1) lim
n
!1
3
n
n
+ 1
= 3
,
2) lim
n
!1
p
n
+ 2 = +
1
,
n
!1
(3 + 2
n
) = +
1
,
4) lim
n
!1
log
2
(
n
+ 3) = +
1
,
n
!1
log
n
+1
4 = 0
,
6) lim
n
!1
1
2
n
+ 5
= 0
.
Zad.
3
.
Obliczy¢
1) lim
n
!1
n
3
+ 2
n
2
+ 1
n
−
3
n
3
,
2) lim
n
!1
p
n
2
+ 4
n
+ 1
−
p
n
2
+ 2
n
,
3) lim
n
!1
3
p
n
5
+ 1 + 1
,
4) lim
n
!1
(
p
n
+ 3)
2
n
+ 1
,
r
q
n
+
p
n
−
q
n
−
p
n
n
n
−
p
n
2
−
1
,
5) lim
n
!1
,
6) lim
n
!1
7) lim
n
!1
r
p
n
,
8) lim
n
!1
−
8
n
−
1
7
n
+1
,
q
n
+
p
n
n
+
9) lim
n
!1
2
n
+1
−
3
n
+2
3
n
+2
,
10) lim
n
!1
2
n
−
1
−
5
2
2
n
−
7
,
11) lim
n
!1
5
−
3
2
n
2
n
+ 3
n
,
12) lim
n
!1
log
8
n
,
13) lim
n
!1
27
log
3
n
16
log
2
n
,
14) lim
n
!1
1 + 3 +
...
+ (2
n
−
1)
2 + 4 +
...
+ 2
n
,
1 +
1
2
+
1
2
2
+
...
+
1
2
n
2
n
n
15) lim
n
!1
1 +
1
3
+
1
3
2
+
...
+
1
3
n
,
16) lim
n
!1
1 +
,
1
−
2
n
2
3
n
n
2
+ 5
n
+ 1
!
n
2
17) lim
n
!1
,
18) lim
n
!1
,
3
n
+ 1
3
n
+ 2
3
n
+1
3
n
+ 1
n
+ 2
3
n
+1
19) lim
n
!1
,
20) lim
n
!1
,
3) lim
5) lim
p
n
3
+
1
log
2
n
5
n
+ 4
n
+ 3
5
−
2
n
2
21) lim
n
!1
,
22) lim
n
!1
n
( ln (
n
+ 1)
−
ln
n
)
,
ln
1
−
3
n
23) lim
n
!1
,
24) lim
n
!1
n
p
10
n
+ 9
n
+ 8
n
,
1
n
r
2
3
25) lim
n
!1
n
p
5
n
4
+
n
3
−
n
+ 1
,
26) lim
n
!1
n
n
+
3
4
n
,
27) lim
n
!1
n
p
3 + sin
n ,
28) lim
n
!1
n
p
2
n
+ cos
n
2
,
s
3
n
+ 2
n
5
n
+ 4
n
,
2
n
+ (
−
1)
n
3
n
+ 2
29) lim
n
!1
n
30) lim
n
!1
,
31) lim
n
!1
2
n
2
+ sin
n
!
4
n
2
−
3 cos
n
2
,
32) lim
n
!1
1
2
n
cos
n
2
−
3
n
,
6
n
+ 1
n
!1
2
−
n
cos
n,
34) lim
n
!1
n
sin
n
!
n
2
+ 1
.
Zad.
4
.
Wykaza¢, »e nie istnieje granica ci¡gu (
a
n
)
n
2
N
, gdzie
2)
a
n
= cos
n
1 +
(
−
1)
n
n
!
n
1)
a
n
=
n
+ (
−
1)
n
n
2
,
2
,
3)
a
n
=
.
Zad.
5
.
?
Wykaza¢ zbie»no±¢ ci¡gów o wyrazach ogólnych:
1)
a
n
=
(
n
!)
2
(2
n
)!
,
2)
b
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
...
+
1
n
−
ln
n.
Zad.
6
.
Wyznaczy¢ kresy zbiorów:
1)
A
=
{
1
3
n
+ 1
:
n
2
N
}
,
2)
B
=
{
(
−
2
3
)
n
:
n
2
N
}
,
3)
C
=
{
(
−
2)
n
+1
:
n
2
N
}
,
4)
D
=
{
1 +
(
−
1)
n
n
:
n
2
N
}
,
5)
E
=
{
n
+
n
(
−
1)
n
:
n
2
N
}
,
6)
F
=
{
sin
n
2
:
n
2
N
}
,
7)
G
=
{
ln(
n
+ 1) :
n
2
N
}
,
8)
H
=
{
k
n
:
n,k
2
N
, k < n
}
,
9)
I
=
{
1
n
+
1
k
:
n,k
2
N
}
.
Zad.
7
.
Wyznaczy¢ kresy zbiorów:
1)
A
=
{
x
2
R:
|
x
|
+
|
2
−
2
x
|¬
3
}
,
2)
B
=
{
x
2
R: log
2
||
x
|−
1
|
<
2
}
,
3)
C
=
{
x
2
R: sin
x
­
1
2
^
x >
0
}
,
4)
D
=
{
cos(2
x
) + 1 :
x
2
R
}
,
5)
E
=
{
x
+ 2
x
+ 1
:
x >
−
1
}
,
6)
F
=
{
x
x
2
+ 1
:
x
2
R
}
.
33) lim
ARKUSZII
ANALIZAMATEMATYCZNAI
3
GRANICEFUNKCJI
Zad.
1
.
Obliczy¢ granice funkcji nie wykorzystuj¡c reguły de L’Hospitala:
x
!1
ln(
x
2
−
5
x
+ 4
x
(
x
−
5)
)
,
x
!−1
e
5
x
+4
x
3
−
5
,
x
!1
arctg
x
2
−
5
x
+ 4
x
−
5
,
x
!−1
arctg
x
2
−
5
x
+ 4
x
−
5
,
5) lim
x
!1
p
x
2
+
x
,
x
+ 4
6) lim
x
!−1
p
x
2
+
x
,
x
+ 4
p
p
x
!1
(
x
2
+ 2
−
x
)
,
x
!−1
(
x
2
+ 2
−
x
)
,
x
!1
(
p
e
x
+ 1
−
p
e
x
−
1)
,
x
!−1
(
3
p
x
+ 1
−
x
)
,
11) lim
x
!1
3
2
x
−
4
x
9
x
+ 3
−
x
+ 2
,
12) lim
x
!−1
3
2
x
−
4
x
9
x
+ 3
−
x
+ 2
,
x
!1
e
x
+sin
2
x
,
x
!−1
e
x
+sin
2
x
,
15) lim
x
!1
arctg 2
x
x
−
1
,
16) lim
x
!−1
tg
1
x
tg
2
x
,
x
!1
e
ln
3
p
x
1
x
+ 2
2
x
−
1
17) lim
p
x
+3
,
18) lim
x
!−1
1 +
,
x
2
+ 2
x
x
2
+ 2
!
x
−
1
x
2
+ 2
x
2
x
2
+ 2
!
x
−
1
19) lim
x
!1
,
20) lim
x
!−1
.
Zad.
2
.
Obliczy¢:
1) lim
x
!−
1
2
4
x
2
−
1
2
x
+ 1
,
2) lim
x
!
2
x
3
−
8
x
−
2
,
3) lim
x
!
3
x
2
−
4
x
+ 3
2
x
−
6
,
4) lim
x
!−
2
3
x
2
+ 5
x
−
2
4
x
2
+ 9
x
+ 2
,
p
x
−
5
x
−
25
,
p
1 +
x
−
p
1
−
x
2
x
5) lim
x
!
25
6) lim
x
!
0
,
p
x
−
2
−
2
x
−
6
7) lim
x
!
1
x
6
−
1
1
−
x
2
,
8) lim
x
!
6
,
9) lim
x
!
0
sin
2
x
1
−
cos
x
,
10)
lim
x
!
2
(tg
x
−
1
cos
x
)
,
11)
lim
x
!
2
cos 5
x
cos 3
x
,
12) lim
x
!
0
3
x
−
sin 2
x
2
x
−
sin 3
x
,
1) lim
2) lim
3) lim
4) lim
7) lim
8) lim
9) lim
10) lim
13) lim
14) lim
4
13) lim
x
!
0
sin
x
3
sin
x
7
sin
x
4
sin
x
6
,
14) lim
x
!
0
tg 2
x
tg 3
x
,
15) lim
x
!
0
+
p
x
cos
1
x
2
,
16) lim
x
!
0
+
(1
−
sin 2
x
)
1
x
+1
,
17) lim
x
!
0
−
ln (1
−
3
x
)
x
,
18) lim
x
!
0
(2 +
x
)
1
x
2
.
Zad.
3
.
Obliczy¢ granice jednostronne funkcji
f
w punkcie
x
o
(o ile istniej¡), je±li:
1)
f
(
x
) =
2
x
−
1
(2
−
x
)
2
, x
o
= 2
,
2)
f
(
x
) =
p
x
+ 1
, x
o
=
−
1
,
x
+ 1
x
2
x
+
e
3)
f
(
x
) =
1
x
+1
, x
o
=
−
1
,
4)
f
(
x
) = 3
1
x
2
−
2
x
+1
, x
o
= 1
,
5)
f
(
x
) =
tg 3
x
x
2
, x
o
= 0
,
6)
f
(
x
) =
sin(2
−
x
)
|
x
−
2
|
, x
o
= 2
,
p
tg
x
x
7)
f
(
x
) =
, x
o
= 0
,
8)
f
(
x
) = ln
1
x
2
−
9
, x
o
= 3
.
Zad.
4
.
Uzasadni¢, »e podane granice nie istniej¡:
x
!
1
e
1
1
−
x
3
,
2) lim
x
!
1
x
p
x
−
1
,
3) lim
x
!−
2
x
3
+ 8
|
x
+ 2
|
,
4) lim
x
!
0
1
sin 2
x
.
Zad.
5
.
Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji
f
i granice w punktach brzegowych dziedziny, je±li:
1)
f
(
x
) =
e
3
3
−
x
,
2)
f
(
x
) =
1
arc sin(
x
−
1)
,
3)
f
(
x
) = arctg
1
x
−
3
,
4)
f
(
x
) =
x
sin
1
x
,
5)
f
(
x
) =
2 + sin
x
3
x
,
6)
f
(
x
) =
2
ln
x
.
Zad.
6
.
Wyznaczy¢ asymptoty funkcji
f
, gdzie:
1
e
x
−
1
,
p
1 +
x
2
x
1)
f
(
x
) =
2)
f
(
x
) =
,
3)
f
(
x
) =
x
3
(
x
+ 1)
2
,
4)
f
(
x
) =
x
−
arctg
x
x
x
+ 2
,
6)
f
(
x
) = arc cos
1
−
x
5)
f
(
x
) =
x
+ ln
1 +
x
,
7)
f
(
x
) =
2
x
ln
x
−
1
ln
x
,
8)
f
(
x
) =
e
1
p
2
−
x
.
1) lim
ArkuszIII
ANALIZAMATEMATYCZNAI
5
CIGŁOFUNKCJI
Zad.
1
.
Naszkicowa¢ wykres funkcji
f
, wskaza¢ jej punkty nieci¡gło±ci i okre±li¢ ich rodzaj:
(
1
−
x
−
2
x
2
dla
x <
0
,
−
e
x
+ 1
(
ln(
−
x
) dla
x <
0
,
sgn (sin
x
) dla
x
­
0
,
1)
f
(
x
) =
dla
x
­
0
,
2)
f
(
x
) =
8
<
sin 2
x
dla
x <
−
,
|
x
|
dla
x
2
(
−
,
1]
,
ln(
x
−
1) dla
x >
1
,
8
<
−
arctg
x
dla
x <
0
,
ctg
x
4
dla
x
2
(0
,
1]
,
e
−
x
+1
dla
x
­
1
,
3)
f
(
x
) =
:
4)
f
(
x
) =
:
8
<
5)
f
(
x
) =
x
2
−
2
x
|
x
−
2
|
dla
x
6
= 2
,
−
2
6)
f
(
x
) =
8
<
x
|
x
|−
1
dla
x
6
=
±
1
,
:
:
dla
x
= 2
,
0
dla
x
=
±
1
,
7)
f
(
x
) = sgn (
x
(
x
−
1)) dla
x
2
R
,
8)
f
(
x
) =
x
sgn (
x
−
1) dla
x
6
= 3
.
Zad.
2
.
Zbada¢ ci¡gło±¢ funkcji
f
okre±lonej wzorem:
(
2
x
−
1
−
p
5+
x
2
(
x
sin
1
x
x
−
2
dla
x
6
= 2
,
dla
x
6
= 0
,
1)
f
(
x
) =
2)
f
(
x
) =
4
3
dla
x
= 2
,
0
dla
x
= 0
,
8
<
8
<
xe
1
x
dla
x <
0
,
2(
x
−
p
2
−
x
)
x
−
1
dla
x <
1
,
3)
f
(
x
) =
0
dla
x
= 0
,
4)
f
(
x
) =
1
dla
x
= 1
,
:
x
+
p
x
x
:
dla
x >
0
,
x
+
e
1
dla
x >
1
,
1
−
x
8
<
8
<
(1
−
2
x
)
2
x
dla
x <
0
,
0 dla
x
= 0
,
x
arctg
1
x
2
dla
x >
0
,
dla
x <
0
,
2 dla
x
= 0
,
ln
2+
x
x
dla
x >
0
,
−
1
x
2
5)
f
(
x
) =
6)
f
(
x
) =
:
:
(
(
ln
x
+1
1
−
cos
1
x
dla
x
6
= 0
,
2ln
x
+
x
dla
x >
0
,
1
2
7)
f
(
x
) =
8)
f
(
x
) =
0
dla
x
= 0
,
dla
x
= 0
.
Zad.
3
.
Znale¹¢ rzeczywiste warto±ci parametrów
a
i
b
, dla których funkcja
f
jest ci¡gła:
(
sin2
x
(
3
x
dla
x
6
= 0
,
a
dla
x
= 0
,
bx
+ 3 dla
x <
1
,
2
x
2
+
x
+
a
dla
x
­
1
,
1)
f
(
x
) =
2)
f
(
x
) =
(
2 arctg
1
1
−
x
dla
x <
1
,
(
x
+
a
dla
x
¬
0
,
x
tg
ax
3)
f
(
x
) =
4)
f
(
x
) =
ax
dla
x
­
1
,
dla
x >
0
,
8
<
(1
−
x
)
x
dla
x <
0
,
ax
+ 1 dla 0
¬
x
¬
2
,
(
a
−
1
2
x
)
2
dla
x >
2
,
8
<
(
x
−
1)
3
dla
x
¬−
1
,
a
x
+
b
dla
−
1
< x <
1
,
5)
f
(
x
) =
6)
f
(
x
) =
:
:
p
x
+ 3 dla
x
­
1
,
Zad.
4
.
Uzasadni¢, »e podane równania maj¡ rozwi¡zanie we wskazanych przedziałach:
1)
sin
x
2
+
x
= 1
,
(0
,
2
)
,
2) ln
x
+ 2
x
= 1
,
(
1
2
,
1)
,
p
3) arctg
x
=
1
x
2
,
(
1
p
3
,
3)
,
4) ln
x
= 2
−
x,
[1
,
2]
,
5)
x
4
= 4
x
,
(
−1
,
0]
,
6)
x
2
x
= 1
,
(0
,
+
1
)
.
2 +
e
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • dodatni.htw.pl
    		•