AMI 2007 wyklad 4AMI 2007 wyklad 4, Analiza matematyczna I
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
4.CAŁKANIEOZNACZONA W całym rozdziale niech I oznacza dowolny przedział (otwarty, domkni¦ty lub jednostronnie domkni¦ty). 4.1.Funkcjapierwotna Definicja 4.1. Niech f : I ! R . Funkcj¦ F : I ! Rnazywamy funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f na przedziale I , gdy V F 0 ( x ) = f ( x ) . x 2I Twierdzenie 4.2. Je±li F jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f na przedziale I , to a) funkcja F + C, gdzie C jest dowoln¡ stał¡, jest równie» funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f, b) ka»d¡ funkcj¦ pierwotn¡ funkcji f mo»na przedstawi¢ w postaci F + C 0 , gdzie C 0 jest odpowiednio dobran¡ stał¡. Wniosek 4.3. Dla dowolnego punktu ( x 0 ,y 0 ) , gdzie x 0 2I , istnieje dokładnie jedna funkcja pierwotna, której wykres przechodzi przez ten punkt. Definicja 4.4. Niech f : I ! R . Zbiór wszystkich funkcji piewotnych funkcji f na przedziale I (o ile jest niepusty) nazywamy całk¡ nieoznaczon¡ funkcji f na przedziale I i oznaczamy przez Z Z f ( x ) dx lub f. Je±li funkcja F : I ! Rjest jak¡kolwiek funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f, to piszemy Z f ( x ) dx = F ( x ) + C , gdzie C 2 R. Bezpo±rednio z definicji całki nieoznaczonej i wzorów na pochodne odpowiednich funkcji wynikaj¡ wzory na podstawowe całki nieoznaczone (patrz tabela w paragrafie 5.4). 4.2.Własno±cicałkinieoznaczonej Twierdzenie 4.5. Niech f : I ! R . Z Z 0 a) Je±li istnieje całka f, to f = f. Z Z b) Je±li istnieje całka ( f 0 ) , to ( f 0 ) = f + C, gdzie C 2 R . Z Z Twierdzenie 4.6 (liniowo±¢ całki nieoznaczonej). Niech f,g : I ! R . Je±li istniej¡ całki f i g, to a) istnieje całka Z ( f + g ) oraz Z Z Z ( f + g ) = f + g ; Z b) dla dowolnej liczby rzeczywistej k istnieje całka ( kf ) oraz Z Z ( kf ) = k f . 2007,E.Kotlicka 4. CAŁKA NIEOZNACZONA 22 Twierdzenie 4.7 (warunek wystarczaj¡cy istnienia całki nieoznczonej). Je±li funkcja f : I ! R jest ci¡gła, to istnieje całka nieoznaczona funkcji f na przedziale I . Uwaga 4.8. (1) O ile pochodne funkcji elementarnych s¡ funkcjami elementarnymi, to funkcje pierwotne funkcji elemen- tarnych nie musz¡ by¢ funkcjami elementarnymi. W konsekwencji istniej¡ funkcje elementarne, których całki nieoznaczone nie wyra»aj¡ si¦ przy pomocy funkcji elementarnych, Z Z e − x 2 dx, np. sin ( x 2 ) dx, 2 x sin 1 x − cos 1 x , gdy x 6 = 0 , 0 , f ( x ) = gdy x = 0 , Z nie jest ci¡gła w punkcie 0, za± f ( x ) dx = g ( x ) + C, gdzie C 2 Roraz g ( x ) = x 2 sin 1 x , gdy x 6 = 0 , 0 , gdy x = 0 . 4.3.Metodycałkowania Twierdzenie 4.9 (o całkowaniu przez cz¦±ci). Załó»my, »e (1) funkcje f,g : I ! R s¡ ró»niczkowalne na przedziale I , (2) istnieje całka nieoznaczona z funkcji f 0 g na przedziale I . Wówczas istnieje całka nieoznaczona z funkcji fg 0 na przedziale I oraz zachodzi wzór Z Z fg 0 = fg − f 0 g. Twierdzenie 4.10 (o całkowaniu przez podstawienie). Załó»my, »e I , J s¡ przedziałami oraz (1) funkcja g : I !J jest ró»niczkowalna na I , (2) funkcja f : J ! R ma na przedziale J funkcj¦ pierwotn¡ F. Wówczas funkcja ( f g ) g 0 ma całk¦ nieoznaczon¡ na I oraz zachodzi wzór Z ( f g ) g 0 = F g + C, gdzie C 2 R . 2007,E.Kotlicka Z cosx x dx . (2) Istniej¡ funkcje nieci¡głe, które posiadaj¡ całk¦ nieoznaczon¡. Np. mo»na sprawdzi¢, »e funkcja f okre±lona wzorem 4. CAŁKA NIEOZNACZONA 23 4.4.Podstawowewzorynacałkinieoznaczone Wzór Zało»enia Z (1) 0 dx = C x 2 R Z x dx = x +1 (2) +1 + C 2 R \{ 1 } , x 2 Rlub x 2 R \{ 0 } (3) Z 1 x dx = ln | x | + C x 6 = 0 Z a x dx = a x (4) ln a + C a 2 (0 , 1) [ (1 , + 1 ) , x 2 R Z (5) sin xdx = − cos x + C x 2 R Z (6) cos xdx = sin x + C x 2 R Z 1 sin 2 x dx = − ctg x + C (7) x 2 ( k, ( k + 1) ) , k 2 Z Z 1 cos 2 x dx = tg x + C (8) x 2 ((2 k − 1) 2 , (2 k + 1) 2 ) , k 2 Z Z 1 1 + x 2 dx = arctg x + C (9) x 2 R Z 1 (10) p 1 − x 2 dx = arc sin x + C x 2 ( − 1 , 1) Z f 0 ( x ) f ( x ) dx = ln | f ( x ) | + C (11) f ( x ) 6 = 0 Z p f ( x ) dx = 2 p f ( x ) + C (12) f ( x ) > 0 2007,E.Kotlicka f 0 ( x ) 4. CAŁKA NIEOZNACZONA 24 4.5.Całkowaniefunkcjiwymiernych. (A) Ka»d¡ funkcj¦ wymiern¡ postaci V ( x ) Q ( x ) , gdzie V i Q s¡ wielomianami niezerowymi mo»na jednozncznie przedstawi¢ w postaci Q ( x ) , gdzie W i P s¡ wielomianami, przy czym stopie« wielomianu P jest mniejszy ni» stopie« wielomianu Q . W ( x ) + P ( x ) Q ( x ) , gdzie P jest wielomianem stopnia mniejszego ni» stopie« wielo- mianu Q, mo»na jednoznacznie przedstawi¢ jako sko«czon¡ sum¦ ułamków prostych pierwszego lub drugiego rodzaju , tzn. funkcji postaci (I) A ( x − p ) n , (II) Ax + B (( x − p ) 2 + k ) n , gdzie n 2 N , A,B,p 2 R , k > 0 . (C) Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju : Z A ( x − p ) n dx = t = x − p dt = dx Z 1 t n dt = ... = A (W przypadku n = 1 mo»na zastosowa¢ wzór (11)). Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju : Z Ax + B (( x − p ) 2 + k ) n dx = o o o o t = x − p dt = dx o o o o = Z A ( t + p ) + B ( t 2 + k ) n dt = Z At ( t 2 + k ) n dt | {z } J n Z 1 ( t 2 + k ) n dt | {z } I n = + ( pA + B ) = ... Wzór Zało»enia Z 1 x 2 + k dx = p k arc tg p (13) I 1 = k + C k > 0 , x 2 R Z 1 ( x 2 + k ) n dx = 1 k (2 n − 2) x ( x 2 + k ) n − 1 + (2 n − 3) I n − 1 (14) ? I n = n = 2 , 3 ,..., k > 0 , x 2 R Wskazówki: 8 < gdy n = 1 stosujemy wzór (11) , J n = : gdy n > 1 stosujemy podstawienie s = t 2 + k I 1 = o o o o s = p k ds = d p k o o o o = ... 2007,E.Kotlicka (B) Ka»d¡ funkcj¦ wymiern¡ postaci P ( x ) 4. CAŁKA NIEOZNACZONA 25 4.6.Całkowaniefunkcjizniewymierno±ciami. Niech R :R 2 ! Rb¦dzie funkcj¡ wymiern¡. Z R ( x, n p ax + b ) dx = o o o o t = n p ax + b dt = ... o o o o lub o o o o x = t n − b a dx = ... o o o o = ..., a 6 = 0 (A) s q ax + b cx + d dt = ... Z x, o o o o o o o o lub jw. ..., ax + b cx + d t = (B) R dx = Niech W n :R ! Rb¦dzie wielomianem n -tego stopnia, n 2 N [{ 0 } . Z W n ( x ) p k + a ( x − p ) 2 dx, k,p 2 R , a 6 = 0 (C) • n = 0 Z A p k + a ( x − p ) 2 dx = o o o o t = x − p dt = dx o o o o = ... (stosujemy wzór (15) lub (16)) , Wzór Zało»enia Z p k − x 2 dx = arc sin p 1 (15) k + C k > 0 , k − x 2 > 0 Z 1 p k + x 2 dx = ln x + p k + x 2 + C (16) k 6 = 0 , k + x 2 > 0 Wskazówki: t = p k dt = d p k p o o o o o o o o lub o o o o x = k sin t o o o o ad. (15) p k cos tdt dx = p o o o o k + x 2 dt = x + p k + x 2 o o o o ad. (16) p k + x 2 dx ) d t = p dx k + x 2 • n > 0 – stosujemy tzw. metod¦ współczynników nieoznaczonych: ? Z W n ( x ) p k + a ( x − p ) 2 dx = Q n − 1 ( x ) q Z 1 p k + a ( x − p ) 2 dx, k + a ( x − p ) 2 + gdzie Q n − 1 oznacza wielomian stopnia n − 1, za± jest pewn¡ stał¡. 2007,E.Kotlicka t = x + [ Pobierz całość w formacie PDF ] |
Podobne
|