AMwyklady sciaga

AMwyklady sciaga, Studia, WAT Informatyka 2, semestr I, Analiza Matematyczna

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
PRZESTRZEŃMETRYCZNA
NiechX≠0pewienzbiór
Odwzorowanied:XxX⇒<0,+∞)
Spełniającewarunkiwarunki
1Vx,y∈Xd(x,y)=0⇔x=y
2||d(x,y)=d(x,y)
3||d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)
NazywamymetrykąwzbiorzeX,wtedyparę(X,d)nazywamyprzestrzeniąmetryczną
Kulaotwarta
Niech(X,d)przestrzeńmetryczna
KulaotwartaośrodkuwpunkcieA∈Xipromieniur>0nazywamyzbiór
K(a,r)={x∈X:d(a,x)<r}
PunktA∈U⊂XnazywamypunktemwewnętrznymwzbiorzeUjeśli∃r>0,ŜeK(a,r)⊂Υ
Punkta∈XnazywamypunktemskupieniazbioruU⊂XjeśliVr>0K(a,r)∩U{a}≠0
ZbiórwszystkichpunktówskupieniaoznaczamyU
d
Jeślia∈U/U
d
toanazywamypunktemizolowanymwzbiorzeU
ZbiórU⊂XnazywamyzbioremotwartymjeśliVa∈UajestwewnętrznywU
NiechU⊂XWtedy
1IntUzbioremotwartym
2Uotwarty⇔IntU=U
ZbiórU⊂XnazywamyzbioremdomkniętymjeŜeliX/Ujestzbioremotwartym
DomknięciezbioruU⊂XnazywamyzbioremUvU
d
ioznaczamyjako
Ū
Niech
U⊂Xwtedy
1
Ū
jestzbioremdomkniętym
2Udomknięty⇔U=
Ū
Otoczeniempunktua∈XnazywamydowolnyzbiórotwartyU⊂XitakiŜea∈U
Niech(X,d)przestrzeńmestryczna
Vr>0iVa∈XK(a,r)jestzbioremotwartym
ZbiórU
⊂Xnazywamyspójnym,gdynieistniejądwazbioryotwarteA,B⊂X,takieŜe
1A∩B=0
2A∩U≠0
B∩U≠0
3U⊂Α∪Β
U⊂Xjestspójny⇔Vx,y∈Uix<yjeślix<z<ytoz∈U
ZbiórU
kryteriumd'AlambertaNiech{a
n
}⊂(0,+∞)orazq=lim(n→∞)a
n+1
/a
n
wtedyjeśli
1q<1toΣa
n
zbieŜny
2q>1toΣa
n
rozbieŜny
3q=1tokryteriumnierozstrzygazbieŜności
SzeregΣ(1)
n+1
a
n
gdzieVn∈Na
n
>0nazywamyszeregiemprzemiennym
KryteriumzbieŜnościNiechΣ(1)
n+1
a
n
szeregprzemiennyoraz
1lim(n→∞)=0
2Vn∈Na
n+1
≤a
n
to
szeregΣ(1)
n+1
a
n
JestzbieŜnyia
1
a
2
≤Σ(1)
n+1
a
n
≤a
1
SzeregΣ
a
n
nazywamybezwzględniezbieŜnymgdyzbieŜnyjestszeregΣ|a
n
|
JeśliszeregΣ
a
n
jestzbieŜnyaΣ|a
n
|jestrozbieŜnytoszeregΣa
n
nazywamyszeregiemzbieŜnymwarunkowo
FUNKCJE
Niech(x,d
x
)(y,d
y
)przestrzeniemetryczneorazf:D
f
⊂X→Yix
0
∈D
f
d
Mówimy,Ŝefmawpunkciex
0
granicaq∈yco
zapisujemy
lim(x→x
0
)f(x)=q⇒V{x
n
}∈D
f
/{x
0
}ilim(n→∞)x
n
=x
0
⇒lim(n→∞)f(x
n
)=q
Niechf:D
f
∈X→Yix
0
∈D
f
Mówimyzefjestciągławpunkciex
0
⇔V{x
n
}⊂D
f
ilim(n→∞)x
n
=x
0
⇒lim(n→∞)f(x
n
)=f(x
0
)
funkcjęf:X→YnazywamyciągłąwU∈XgdyjestciągławkaŜdympunkciezbioruU
Niech(X,d
x
)(Y,d
y
)(Z,d
z
)przestrzeniemetryczneorazf:X→Y,g:Y→ΖWtedyjeślifjestciągławpunkciex
0
∈Xorazgjest
ciągław
punkciey
0
=f(x
0
)tog°f:X→Zjestciągławpunkciex
0
Niechfmapostaćf:U∋x=(x
1
,x
2
...x
n
)→f(x)=f(x
1
),f(x
2
)...f(x
n
)∈R
m
Oznaczeniefi:U→Ri=1...nnazywamywtedyitąskładową
funkcjif
Niechf:U⊂R
n
→R
m
orazx
0
∈U
d
Wtedylim(x→x
0
)f(x)=q=(q
1
,q
2
...q
m
)∈R
m
⇔Vi=1...mlim(x→x
0
)f
i
(x)=q
i
MówimyŜef:D
f
⊂R→Rmagranicelewostronną(prawostronną)wpunkciex
0
∈(D
f
∩(∞,x
0
))(x
0
∈(D
f
∩(x
0,
+∞))równą
q∈R∪{∞,+∞}⇔
V{x
n
}⊂D
f
iVn∈Nx
n
<x
0
(x
n
>x
0)
ilim(n→∞)x
n
=x
0
⇒lim(n→∞)f(x
n
)=qipiszemywtedylim(x→x
0
)f(x)=q((x→x
0
+
)f(x)=q)
MówimyŜef:(a,+∞)⊂R→R(f:(∞,a)⊂R→R)magranicew+
∞(
∞)równaq∈R∪{+∞,∞}⇔V{x
n
}⊂(a,+∞)ilim(n→∞)
x
n
=+∞(V{x
n
}
⊂(∞,a)ilim(n→∞)x
n
=∞)⇒lim(n→∞)f(x
n
)=qipiszemylim(x→+∞)f(x)=q(lim(x→−∞)f(x)=q)
Prosteorównaniux=x
0
nazywamyasymptotąpionowąlewostronną(prawostronną)funkcjif:(a,x
0
)∪(x
0
,b)→R(a<x
0
<b)gdy
lim(x→x
0
)f(x)=±∞((x→x
0
+
)f(x)=±∞)
Prosteorównaniuy=y
0
nazywamyasymptotąpoziomąfunkcjif(∞,a)⊂R→R(f(a,+∞)⊂R→R)w∞(+∞)jeŜelilim(x→∞)
f(x)=
y
0
(lim(x→+∞)f(x)=y
0
)
prosteorównaniuy=ax+bnazywamyasymptotąukośnąfunkcjif(∞,a)→R(f(a,+∞)→R)w∞(+∞)jeŜelilim(x→±∞)(f(x)
(ax+b))=0
POCHODNE
Niechf:U⊂R→R,Uotwarty.WtedyfunkcjafnazywamyróŜniczkowalnąwpunkciex
0
∈U⇔∃x
0
∈R:f(x)f(x
0
)=Ax
0
(x
x
0
)+r(x
0
x)gdzie
r(x
0
,•):U→Rspełniawarunkilim(x→x
0
)(r(x
0
x))/(xx
0
)=0
(lim(h→0)(f(h+x
0
)f(x
0
))/h))
interpretacjageometrycznapochodnejtgα
0
=lim(h→0)(f(h+x
0
)f(x
0
))/h)czyliwspółczynnikkierunkowystycznejldofunkcji
fw
punkcie(x
0
,f(x
0
))jestrównyf'(x
0
)=tgαiwtedyl:yf(x
0
)=f'(x
0
)(xx
0
)
(TwLa'Grangea)Niechf:<a,b>→Rf∈C
0
(<a,b>)ifróŜnowartościowaw(a,b)to∃x
0
∈(a,b)Ŝef'(x
0
)=(f(b)f(a))/(ba))
(TwTaylora)niechf:<a,b>→Rif
(n1)
róŜnowartościowaw(a,b)orazx
0
,x∈<a,b>x
0
≠xwtedy∃c∈(a,b)zawartymiędzyx
0
,xtaki
Ŝe
f(x)=f(x
0
)+(f'(x
0
)/1!)(xx
0
)+(f'(x
0
)/2!)(xx
0
)
2
+...+(f'
n
(x
0
)/n!)/(xx
0
)
n
(gdzie(f'
n
(x
0
)/n!)/(xx
0
)
n
tonterozwinięciewzoruTaylora)
Niech(X,d)przestrzeńmetrycznaif:X→RMówimyzefmamaksimum(minimum)lokalne(globalne)wpunkciex
0
∈Xgdy
∃r>0Vx∈K(x
0
,r)/{x
0
}f(x
0
)>f(x)(f(x
0
)<f(x))
Niechf:(a,b)→R,f∈C
n
((a,b))Wtedyjeśliwpunkciex
0
∈(a,b)f'(x
0
)=...=f
(n1)
'(x
0
)=0orazf
n'
(x
0
)≠0to
1jeŜelinparzystawtedyfmawpunkciex
0
ekstremumijesttomaksimumgdyf
n
'(x
0
)<0aminimumgdyf
n
'(x
0
)>0
2JeŜelinnieparzystetofniemaekstremumwpunkciex
0
f(x)>f'(x
0
)(xx
0
)+
f(x
0
)wklęsła
f(x)<f'(x
0
)(xx
0
)+
f(x
0
)–wypukła
Niechf:(a,b)→Rix
0
∈(a,b)i∃r>0ŜefróŜnowartościowaw(x
0
r,x
0
+r)⊂(a,b)wtedypunkt(x
0
,f(x
0
))nazywamypunktem
przegięcia
funkcjifjeŜelifunkcjafjestwklęsła(wypukła)V(x
0
r,x
0
)iwypukła(wklęsła)Vx∈(x
0
,x
0
+r)
Niechf:(a,b)→R,f'róŜnowartościowaw(a,b)iVx∈(a,b)f''(x)>0(f''(x)<0)tofunkcjafjestwklęsła(wypukła)w(a,b)
Niechf:(a,b)→Ri∃r>0Ŝef∈c
2
((x
0
r,x
0
+r))wtedyjeŜelifmapunktprzegięciawpunkciex
0
∈(a,b)tof''(x)=0
Niechf:(a,b)→RfróŜnowartościowawx
0
∈(a,b)oraz∃r>0Ŝef'jestróŜnowartościowaw(x
0
r,x
0
)∪(x
0
,x
0
+r)i
Vx∈(x
0
r,x
0
)f''(x)<0orazVx∈(x
0
,x
0
+r)f''(x)>0punkty(x
0
,f(x
0
))jestpunktemprzegięciaf.
JeŜelif''mastałyznakw(x
0
r,x
0
)∪(x
0
,x
0
+r)tox
0
niejestpunktemprzegięciaf.
(regułaDeL'Hospitala)Niechf,g:U→RorazV⊂U
1(a,x
0
)∞≤a<x
0
≤+∞
2(a,x
0
)∞≤x
0
<a≤+∞
3(a,x
0
)∪(x
0,b
)∞≤a<x
0
<b≤+∞
orazfigsąróŜnowartościowawVig'(x)≠0Vx∈XPonadtoniechlim(x→x
0
)f(x)=lim(x→x
0
)g(x)=0lublim(x→x
0
)f(x)=±∞i
lim(x→x
0
)g(x)=±∞wtedyjeśli∃lim(x→x
0
)(f'(x)/g'(x))=q∈R∪{+∞,−∞}tolim(x→x
0
)(f(x)/g(x))=q
CAŁKI
całkowanieprzezpodstawienieniechU,V⊂Rprzedziały,f∈C
0
(V)g:U→Vg∈C
2
(U)wtedyVx∈U
∫f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))+C
Całkowanieprzezzamianęzmiennej∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)x=g(t)
całkowanieprzezczęściniechf,g∈C
1
(U)wtedy∫f'(x)g(x)=f(x)g(x)∫f(x)g'(x)
⊂XnazywamyzwartymjeśliV{x
n
}⊂U
∃{x
nk
}⊂{x
n
}takiŜelim(k→∞)x
nk
∈U
ZbiórU
⊂Xjestograniczonyjeśli∃x
0
∈X∃r>0takieŜeU⊂K(x
0
,r)
JeŜeliU⊂XzwartytoUograniczonyidomknięty
JeśliU⊂R
n
domkniętyiograniczonytoUzwarty
Niech{x
n
}⊂XmówimyŜe{x
n
}spełniawarunekCouchyegowxjeśliVε>0∃m,n>n
0
d(x
n
,x
m
)<ε
Jeśli{x
n
}⊂XzbieŜnywXto{x
n
}spełniawarunkiCoushecgowX
Przestrzeńmetryczna(X,d)wktórejkaŜdyciągspełniawarunkiCouchyegojestzbierznyw
Xnazywamyprzestrzeniązupełną
R
n
(n≥1)jestprzestrzeniązupełną
Podzbiórdowolnejprzestrzenizupełnejjestprzestrzeniązupełną
Jeśli{x
n
}⊂Rtociąg{x
n
}nazywamyciągiemliczbowymwtedyVx,y∈Rd(x,y)=|xy|zatem
lim(n→∞)a
n
=a∈RVε>0∃n
0
n>n
0
|a
0
a
n
|<ε
Twierdzenieo3ciągachNiech{a
n
}{b
n
}{c
n
}⊂Rorazlim(n→∞)a
n
=lim(n→∞)c
n
=b∈Rto
jestVn>n
0
a
n
≤b
n
≤c
n
tolim(n→∞)b
n
=b
niech{a
n
}⊂Roraz{a
n
}⊂{a
nk
}jeśli∃lim(k→∞)a
nk
(właściwalubniewłaściwa)totęgranice
nazywamygranicączęściowąlubpunktem
skupieniaciągu{a
n
}
NiechAzbiórwszystkichgranicczęściowychciągu{a
n
}⊂Rwtedygranicagórnaoraz
dolnaciągu{a
n
}określonyodpowiedniojako
{+∞gdy+∞∈Α
lim(n→∞)supa
n
={supAgdy+∞∉ΑiA∩R≠0
{∞gdyΑ={−∞}
{−∞gdy∞∈Α
lim(n→∞)infa
n
={infAgdy∞∉ΑiA∩R≠0
{+∞gdyΑ={+∞}
SZEREGI
WarunkikoniecznezbieŜnościszereguJeśliszeregΣa
n
jestzbieŜnytolim(n→∞)a
n
=0
jeŜeliniejestzbieŜnytojestrozbieŜny
KryteriumporównawczeNiech{a
n
}{b
n
}⊂<0,+∞)wtedyjeŜeli∃n
0
Vn>n
0
a
n
≤b
n
to
1JeśliΣb
n
zbieŜnytoΣa
n
teŜzbieŜny
2JeśliΣb
n
rozbieŜnytoΣa
n
teŜrozbieŜny
ZasadazagęszczaniaNiech{a
n
}⊂(0,+∞)orazVn∈Na
n+1
≤a
n
wtedyszeregiΣa
n
orazΣ2
n
a2k
sąjednocześniezbieŜnelubrozbieŜne
kryteriumCouchyegoniech{a
n
}⊂(0,+∞)orazlim(n→∞)
n
√a
n
=qwtedyjeśli
1q<1toΣa
n
zbieŜny
2q>1toΣa
n
rozbieŜny
3q=1tokryteriumnierozstrzygazbieŜności
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

dodatni.htw.pl

Podobne