ANALIZA ZEROWKA

ANALIZA ZEROWKA, NAUKA, matematyka, analiza matematyczna

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Niech będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru .
@ Ograniczeniem górnym zbioru nazywamy dowolny element zbioru
nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru .
@ Ograniczeniem dolnym zbioru nazywamy dowolny element zbioru
nie większy od dowolnego elementu zbioru .
@ Najmniejsze ograniczenie górne zbioru nazywamy kresem
górnym zbioru (lub: supremum zbioru ) i oznaczamy symbolem
.
@ Największe ograniczenie dolne zbioru nazywamy kresem
dolnym zbioru (lub: infimum zbioru ) i oznaczamy symbolem
będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru .
nazywamy dowolny element zbioru
(odpowiednio:
).
@Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym
że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym
przedziale jest rosnąca albo malejąca.
@ Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią,
różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji
@ Ograniczeniem dolnym zbioru nazywamy dowolny element zbioru
nazywamy kresem
górnym zbioru (lub: supremum zbioru ) i oznaczamy symbolem
będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią,
różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji nazywamy funkcją
logarytmiczną o podstawie i oznaczamy . Na ogół pomija się
indeks w oznaczeniu logarytmu liczby i pisze się krótko
logarytmiczną o podstawie i oznaczamy
indeks w oznaczeniu logarytmu liczby i pisze się krótko
.
nazywamy kresem
dolnym zbioru (lub: infimum zbioru ) i oznaczamy symbolem
@ Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej
@ Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej
.
.
@ [granica ciągu]
Niech będzie ciągiem oraz niech
Mówimy, że jest granicą ciągu
@ Ciąg o wyrazach
gdzie
nazywamy
będzie ciągiem oraz niech
ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie i różnicy
@ Niech i Ciąg o wyrazach , gdzie
nazywamy ciągiem geometrycznym o początkowym
wyrazie i ilorazie .
@ Iloczynem kartezjańskim
ciągiem arytmetycznym o początkowym wyrazie i różnicy
jeśli
jeśli
, gdzie
nazywamy ciągiem geometrycznym o początkowym
i piszemy
zbiorów
i
nazywamy zbiór
nazywamy zbiór
par uporządkowanych
takich, że
i
, tj.
Mówimy, że ciąg
jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli
jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli
@ W iloczynie kartezjańskim
definiujemy sumę oraz iloczyn
definiujemy sumę oraz iloczyn
@[ciąg ograniczony]
Ciąg
par
oraz
następująco
nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości
jest ograniczony w
nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości
to znaczy zawarty w pewnej kuli.
Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w
powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy
literą
@ Jeśli , to liczbę
nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy , a każdy z kątów
takich, że zachodzą równości , nazywamy
argumentem liczby i oznaczamy . Najmniejszy nieujemny argument
liczby zespolonej nazywamy argumentem głównym tej liczby i
oznaczamy . Wyrażenie będziemy
krótko notować w postaci wykładniczej lub pomijając na razie
zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji. Odtąd liczbę
zespoloną o module i argumencie będziemy zapisywać w postaci
trygonometrycznej
Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w
powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy
Innymi słowy ciąg
jest ograniczony, gdy
jest ograniczony, gdy
@ [podciąg]
Niech
będzie ciągiem. Niech
będzie ciągiem. Niech
będzie funkcją
nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy , a każdy z kątów
silnie rosnącą.
Ciąg
nazywamy podciągiem ciągu
nazywamy podciągiem ciągu
i
, nazywamy
oznaczamy
gdzie dla
@[warunek Cauchy'ego]
Niech
. Najmniejszy nieujemny argument
liczby zespolonej nazywamy argumentem głównym tej liczby i
pomijając na razie
zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji. Odtąd liczbę
zespoloną o module i argumencie będziemy zapisywać w postaci
będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg
będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg
spełnia
warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli
warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli
lub wykładniczej
lub wykładniczej
Warunek Cauchy'ego dla ciągu oznacza, że dla dowolnie wybranej
liczby począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są
oddalone od siebie o mniej niż
@[ciąg liczbowy]
Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w (to znaczy
w zbiorze liczbowym traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką
euklidesową). Piszemy krótko
oznacza, że dla dowolnie wybranej
@ Sprzężeniem liczby zespolonej
nazywamy liczbę
nazywamy liczbę
począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są
.
@ Funkcję nazywamy iniekcją zbioru w zbiór , jeśli jest
różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów
w zbiór , jeśli jest
różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów
z
Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w (to znaczy
w zbiorze liczbowym traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką
równości
wynika, że
Ponieważ w zbiorze liczbowym
mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy
ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu
@ Funkcję
nazywamy suriekcją zbioru
na zbiór , jeśli
na zbiór , jeśli
mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy
ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu
@ (1) Mówimy, że ciąg
każdy element zbioru
jest wartością funkcji to znaczy, że dla
jest wartością funkcji to znaczy, że dla
dowolnego elementu
istnieje element
taki, że
taki, że
jest malejący, jeśli
jest malejący, jeśli
@ Funkcję
nazywamy bijekcją zbioru
na zbiór , jeśli jest
na zbiór , jeśli jest
iniekcją i suriekcją.
@ Mówimy, że zbiory są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru
na zbiór . Mówimy też wtedy, że zbiory
są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru
(2) Mówimy, że ciąg
jest silnie malejący, jeśli
jest silnie malejący, jeśli
, są tej samej mocy, co
, są tej samej mocy, co
zapisujemy krótko
lub
. Jeśli zbiór zawiera
. Jeśli zbiór zawiera
(3) Mówimy, że ciąg
jest rosnący, jeśli
jest rosnący, jeśli
skończoną liczbę elementów równą
(innymi słowy: jeśli jest równoliczny
(innymi słowy: jeśli jest równoliczny
(4) Mówimy, że ciąg
jest silnie rosnący, jeśli
jest silnie rosnący, jeśli
ze zbiorem
), to mówimy, że jest zbiorem mocy
, co zapisujemy
, co zapisujemy
(5) Mówimy, że ciąg
jest monotoniczny, jeśli jest on malejący
jest monotoniczny, jeśli jest on malejący
lub
.
lub rosnący.
(6) Mówimy, że ciąg
@ Niech
będzie funkcją. Mówimy, że funkcja
jest
jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie
jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie
funkcją odwrotną do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu
zachodzi równość
funkcją odwrotną do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu
malejący lub silnie rosnący.
@ (1) Mówimy, że ciąg
i dla dowolnego elementu
zachodzi
jest ograniczony, jeśli
jest ograniczony, jeśli
równość . Funkcję odwrotną do funkcji
będziemy oznaczać często symbolem
,
(2) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony z dołu, jeśli
jest ograniczony z dołu, jeśli
@ Mówimy, że funkcja
jest rosnąca (odpowiednio: ściśle
jest rosnąca (odpowiednio: ściśle
rosnąca) w przedziale
, jeśli
(3) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony z góry, jeśli
jest ograniczony z góry, jeśli
(odpowiednio:
).
@ Mówimy, że funkcja
jest malejąca (odpowiednio: ściśle
jest malejąca (odpowiednio: ściśle
malejąca) w przedziale
, jeśli
1
to znaczy zawarty w pewnej kuli.
@ (1) Mówimy, że liczba jest granicą ciągu
jeśli
jeśli
i piszemy
(2) Mówimy, że ciąg
czyli warunek w powyższej definicji jest dokładnie warunkiem Cauchy'ego
dla ciągów. Kolejne twierdzenie będziemy często wykorzystywać przy
sprawdzaniu czy dany szereg jest zbieżny.
@[Kryterium porównawcze zbieżności szeregów]
czyli warunek w powyższej definicji jest dokładnie warunkiem Cauchy'ego
dla ciągów. Kolejne twierdzenie będziemy często wykorzystywać przy
sprawdzaniu czy dany szereg jest zbieżny.
@[Kryterium porównawcze zbieżności szeregów]
jest zbieżny, jeśli
Jeśli
są szeregami takimi, że
są szeregami takimi, że
dla
@. [O trzech ciągach]
Jeśli
oraz
to
to
są ciągami takimi, że
(1) jeśli szereg
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny;
to
@ Jeśli
(2) jeśli szereg
jest rozbieżny, to szereg
jest rozbieżny, to szereg
jest rozbieżny.
jest ciągiem, to
@. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]
@. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]
(1) jeśli
jest rosnący, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
oraz
(2) jeśli
Jeśli
jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy
jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy
dla
jest malejący, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
), to
oraz
@ [O ciągu monotonicznym i ograniczonym]
(1) Jeśli
(1)
szereg
jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on
jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on
jest zbieżny
zbieżny.
(2) Jeśli
jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest
jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest
on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest
ograniczony.
@ [Liczba , symbol
(2)
szereg
jest
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest
]
rozbieżny
(1) Ciąg
o wyrazach
jest zbieżny.
jest zbieżny.
(1) Jeśli
to szereg
to szereg
jest zbieżny.
Jego granicę oznaczamy przez
przy czym
(2) Jeśli
to szereg
to szereg
jest rozbieżny.
(2) Jeśli
jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że
jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że
(3) Jeśli
to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy
to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy
to
szereg jest zbieżny.
@ Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]
@ Niech
będzie ciągiem.
@ Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]
(1) Mówimy, że
jest punktem skupienia ciągu
jeśli istnieje
podciąg taki, że
(2) Granicą dolną ciągu
Jeśli
jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy
jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy
dla
nazywamy
), to
gdzie jest zbiorem punktów skupienia ciągu
(3) Granicą górną ciągu
(1)
szereg
nazywamy
jest zbieżny
gdzie
jest zbiorem punktów skupienia ciągu
(2)
dla nieskończenie wielu
szereg
@ Jeśli
jest ciągiem liczbowym, to
ma granicę
ma granicę
wtedy i tylko wtedy, gdy
@[Warunek konieczny zbieżności szeregów]
jest rozbieżny
(1) Jeśli
to szereg
to szereg
jest zbieżny.
Jeśli szereg
jest zbieżny, to
(2) Jeśli
to szereg
to szereg
jest rozbieżny.
@(1) szeregi
są zbieżne oraz
(3) Jeśli
to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy
to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy
szereg jest zbieżny.
@. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]
@. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]
(2) szereg jest zbieżny oraz
@. [Warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów]
Jeśli
i
są szeregami;
oraz
to szereg
jest zbieżny wtedy i tylko
Jeśli
jest szeregiem, to szereg
jest zbieżny wtedy i tylko
jest zbieżny wtedy i tylko
wtedy, gdy
wtedy, gdy szereg
jest zbieżny.
Powyższy warunek nazywamy warunkiem Cauchy'ego dla szeregów.
Zauważmy, że
Powyższy warunek nazywamy warunkiem Cauchy'ego dla szeregów.
2
jeśli istnieje
).
@[Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech będzie podzbiorem
Niech
będzie funkcją oraz
będzie funkcją oraz
(7)
dla
niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)
w punkcie
w punkcie
jeśli
(8)
dla
@(1) Każdy wielomian
jest funkcją ciągłą.
jest funkcją ciągłą.
(2) Funkcja potęgowa
(
) jest ciągła.
(3) Funkcja wykładnicza
(
) jest ciągła.
(4) Funkcje trygonometryczne
są ciągłe.
@ [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech będzie podzbiorem
Niech
będzie funkcją oraz
będzie funkcją oraz
@. [Weierstrassa]
Jeśli
jest zbiorem zwartym oraz
jest funkcją ciągłą, to
niech będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)
funkcja osiąga swoje kresy, to znaczy
w punkcie
w punkcie
jeśli
@ Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie
@ Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie
, jeśli
istnieje granica ilorazu różnicowego
Piszemy wówczas
@[Ciągłość funkcji w punkcie]
Niech
Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie i
Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie i
niech
będzie funkcją oraz niech
będzie funkcją oraz niech (
nie musi być punktem skupienia zbioru ). Mówimy, że funkcja jest
oznaczamy symbolem:
lub
. Funkcję , która
argumentowi przyporządkowuje wartość pochodnej funkcji w
punkcie nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną
funkcji . Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej
nie musi być punktem skupienia zbioru ). Mówimy, że funkcja jest
ciągła w punkcie
argumentowi przyporządkowuje wartość pochodnej
jeśli
punkcie nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną
funkcji . Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej
jest zawsze
podzbiorem dziedziny funkcji
.
@ Niech
będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym
będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym
.
Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej
dziedziny.
@. [Granica niewłaściwa funkcji]
Niech oraz punktem skupienia zbioru
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej
Niech
. Jeśli istnieją pochodne
oraz
, to
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
w
punkcie
jeśli
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
w
@ Jeśli istnieje pochodna
i istnieje pochodna
i istnieje pochodna
, gdzie
, to istnieje pochodna złożenia
, to istnieje pochodna złożenia
i jest równa
punkcie
jeśli
iloczynowi pochodnych, tzn.
@[twierdzenie Stirlinga]
Dla dowolnej liczby naturalnej
istnieje liczba
istnieje liczba
(zależna od
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego)
w punkcie
wyboru liczby
) taka, że zachodzi równość
) taka, że zachodzi równość
jeśli
Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych
Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego)
punkcie
czynnik , stąd
W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet
jeśli
W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet
przybliżeniem
lub (pamiętając, że
lub (pamiętając, że
) oszacowaniem
@ Funkcja
jest ciągła w punkcie
wtedy i tylko
wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.
, dla które wykorzystaliśmy do wyznaczenia
promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję
które wykorzystaliśmy do wyznaczenia
promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję
.
wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.
@ Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne
Niech
@[Granice specjalne]
będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i
będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i
niech
. Oznaczmy przez
odległość
(1)
punktów .
@ Mówimy, że funkcja osiąga maksimum lokalne
(odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie
osiąga maksimum lokalne
(odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie
, jeśli istnieje pewne
(2)
dla
otoczenie punktu , w którym wartości funkcji są nie większe
(odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji w punkcie
, w którym wartości funkcji są nie większe
(odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji w punkcie
, to
(3)
oraz
znaczy
odpowiednio:
@ Jeśli funkcja
(4)
osiąga ekstremum w punkcie
osiąga ekstremum w punkcie
i
(5)
dla
(w szczególności
)
jest różniczkowalna w punkcie
, to pochodna
, to pochodna
.
(6)
dla
(w szczególności
(w szczególności
3
@[twierdzenie Rolle'a]
Niech będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym
i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału
funkcja przyjmuje równe wartości
Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka
Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka
), tzn.
będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym
i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału
to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale
to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale
.
, to istnieje punkt
, to istnieje punkt
@ Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]
Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale
@ Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]
, w którym zeruje się pochodna funkcji
.
, to zachodzi nierówność:
@. [twierdzenie Lagrange'a]
Jeśli funkcja
jest ciągła w przedziale domkniętym
jest ciągła w przedziale domkniętym
i
dla dowolnych liczb nieujemnych
takich, że
oraz dla dowolnych
oraz dla dowolnych
z przedziału
różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego
, to istnieje
.
@ Badanie przebiegu zmienności funkcji
(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.
(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie
składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w
których funkcja jest ciągła.
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc
zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja
przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.
(6) Badanie pierwszej pochodnej:
określenie dziedziny pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna
jest dodatnia, ujemna.
(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:
określenie dziedziny drugiej pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym
druga pochodna jest dodatnia, ujemna.
(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz
punktów przegięcia funkcji.
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) Sporządzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.
punkt taki, że
Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach
(skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia
można zapisać też następująco:
Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach
(skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia
(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie
składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w
@ Jeśli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
, to znaczy,
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc
zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja
jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
, a
granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą
pochodną) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem
granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą
lub
wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna
albo
, bądź też
.
(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
@[wzór Leibniza]
Niech
będą funkcjami krotnie różniczkowalnymi,
będą funkcjami krotnie różniczkowalnymi,
.
Zachodzi równość
@ Niech
wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym
będzie funkcją
krotnie różniczkowalną w
krotnie różniczkowalną w
przedziale
. Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że
istnieje punkt
. Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że
(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz
taki, że
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) Sporządzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.
gdzie
Wielomian
nazywamy wielomianem Taylora rzędu funkcji o środku w punkcie .
@. [twierdzenie Weierstrassa]
Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za
pomocą wielomianów, tzn. jeśli
nazywamy wielomianem Taylora rzędu funkcji o środku w punkcie .
Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za
jest funkcją ciągłą, to
jest funkcją ciągłą, to
istnieje ciąg wielomianów
taki, że
@[twierdzenie Bernsteina]
Jeśli jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów
Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale
jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów
, to znaczy
, to znaczy
@ Reguła de l'Hospitala
Niech
będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale
będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale
, przy czym
. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu
. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu
pochodnych
i jest równa
. Jeśli istnieją granice funkcji
. Jeśli istnieją granice funkcji
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu
pochodnych w tym punkcie, tj.
@ Mówimy, że funkcja
jest wypukła w przedziale
jest wypukła w przedziale
,
jeśli jej nadwykres
jest zbiorem wypukłym, to znaczy
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

dodatni.htw.pl

Podobne