ALG GEOMALG GEOM, Energetyka I stopień PŚk, sem2 Matematyka 2, matma6
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wybórzada«zalgebryliniowejigeometrii,A.Lenarcik(eko.11,energ.11) Macierze m7. Obliczwyznaczniki ,b) , c) − 12 − 3 − 21 4 10 1 − i 12+ i 0 i 1 − 2 i 1 2+3 i 2 − 2 i 1 − i 2+ i 7 − 3 i 3 − i 1+ i 4 − 6 i 2 − 3 i − 1 − 1 − 1 1 cos − sin sin cos a) ,d) , e) , 1 0 2 − 3 1 2 − 1 1 − 1 − 1 − 2 0 − 3 2 4 1 x yx + y yx + y x x + y x y f) ,g) . m8. Dlajakichwarto±ci wyznacznikzerujesi¦? ,b) 2 − − 2 0 − 21 − − 2 0 − 2 − 3 − − 2 2 − 2 − a) . m9. Rozwi¡»nierówno±ci: 3 x − 5 x − 2 x − 3 2 x +1 x − 1 x +2 3 x +2 x − 12 x +3 x 11 1 x 1 11 x a) > 0,b) ¬ 0. 8 < 2 x − 3 y = 4 3 x +2 y = − 7 ,b) 2 x − y + z = 0 − x − 3 y +2 z = − 5 3 x − 4 y − z = 5 m10. Rozwi¡»układrówna«:a) , : 8 > > < 8 < − x +2 y − 3 z + t =0 x + y − z + t =2 − x +2 y − 3 z +2 t =2 2 x − 2 y + z − t =3 ix + y − iz =3 − i x + y − z = − 2 i 2 ix − y + z =2+ i c) ,d) . : > > : m11. Dlajakichwarto±ciparametru a podanyukładrówna«majednoznacznerozwi¡zanie? 8 < ax + y = 1 ax + a 2 y = − 1 ,b) ax +2 y +3 z = 1 − x + ay = 0 ax + y +2 z = − 1 a) . : m12. Zauwa»,»epodanyukładrówna«mazawszerozwi¡zaniezerowe.Dlajakichwarto±ciparametru b mo»liwejest istnienierozwi¡za«niezerowych? 8 < bx − 2 by =0 3 x + by =0 ,b) 2 x +2 y + bz =0 − x + by − z =0 x + y + bz =0 a) . : m13. Dlajakichwarto±ciparametru a macierz A jestodwracalna? 2 3 a 4 aa a 2 a − 11 − 2 13 1 4 5 . a) A = ,b) A = − 14 − 32 ab cd m14. Znajd¹macierzodwrotn¡dodanejmacierzy A .a) A = ,b) A = , 2 3 2 3 10 − 1 0 12 1 − 1 − 10 1 1 − 12 0 1 11 − i 1+ i i − 101 122 − 211 6 6 4 7 7 5 . 4 5 ,e) A = c) A = ,d) A = m15. Wyliczsymbolicznie X zrównaniamacierzowego:a) AX = B ,b) XA + B = C , c) A − 1 ( X − B )= C ,d) AXB + C = D ,e) A ( X − B )= CX . m16. Wyznaczmacierz X zrównaniamacierzowego: a)3 AX + B T = C ,gdzie A = 32 − 11 0 − 1 2 1 − 3 5 5 − 5 , B = , C = , 2 3 2 3 2 3 − 1 12 2 − 11 0 12 3 − 11 − 1 21 1 01 − 63 0 − 50 − 1 40 2 4 5 , B = 4 5 , D = 4 5 , b) A − 1 XB = D ,gdzie A = 2 3 2 3 2 3 120 − 112 132 0 1 − 1 2 1 0 − 1 − 2 1 032 064 440 4 5 , B = 4 5 , D = 4 5 . c)( X + B ) A = D ,gdzie A = 8 < 2 x +5 y =3 − 7 x +3 y =10 ,b) x − 2 y +3 z =9 x + z =3 2 x − y =3 m17. Metod¡macierzow¡rozwi¡»układrówna«:a) . : WEKTORY w4. Przedstawwektor y ~a , ~ b , ~c , ~ d , ~e , ~ f , ~g , ~ h , ~ i jakokombinacjewektorówbazy( ~u,~v ). ~ f ~c @ @ ~ d @ @ C CO @ @R ~g C ~a C C ~ b C ~ h C C ~e C ? C C ~ i - C ~v ~u - w5. Wyra¹wektory ~ AB , ~ BC , ~ CD , ~ DA , ~ AC , ~ DB ja kokombinacjeliniowewektorówbazy( ~ i, ~ j, ~ k ). C B s s 6 ~ k ~ j ~ i - s D s A układywspółrz¦dnych u3. Okre±lgraficzniewspółrz¦dne x,y punktu P wukładzierepera( O,~u,~v )orazwspółrz¦dne x 0 ,y 0 tegosamego punktuwukładzie( O 0 ,~u 0 ,~v 0 ). · P ~v 0 A AK ~v ~u 0 A - · * ~u O’ · O u4. Znajd¹równaniekrzywej x 2 +2 xy + y 2 − 8 x − 4 y +3=0wewspółrz¦dnych x 0 ,y 0 orazrównaniekrzywej 3 x 0 + y 0 − 3=0wewspółrz¦dnych x,y . ~ j 0 O’ @ @R ~ i 0 - ~ i 6 ~ j O iloczynskalarny s 1. Danes ¡ wektory ~u,~v napłaszczy¹nietakie,»e ~u ~v = − 1,orazdługo±ciwektorów ~u , ~v s¡odpowiedniorówne p p 2. (a)Oblicz ~p ~q ,gdzie ~p =2 ~u − 3 ~v , ~q = − ~u +2 ~v . (b)Obliczdługo±ciwektorów ~p i ~q . (c)Wyznacz stał¡ takabywektory ~p i ~q − ~p byłyprostopadłe. s3. Obliczk¡tpomi¦dzywektorami ~u i ~v którychwspółrz¦dneokre±lones¡wbazieortonormalnej: (a) ~u =[2 , 1], ~v =[ − 3 , 1], (b) ~u =[ − 2 , 3], ~v =[1 , 5], (c) ~u =[6 , 7 , − 1], ~v =[13 , 8 , 5], (d) ~u =[10 , 1 , 7], ~v =[1 , − 2 , 1], (e) ~u = [4 , 1 , − 1], ~v =[ − 2 , 1 , 2], (f) ~u =[ − 3 , 2 , − 5], ~v =[ − 2 , − 5 , 3], (g) ~u =[ − 10 , − 7 , − 1], ~v =[5 , 3 , 4], (h) ~u =[2 , 8 , 7], ~v =[4 , 3 , 1].Odp.a)135 o ,b)45 o ,c)30 o ,d)60 o ,e)135 o ,f)120 o ,g)150 o ,h)45 o . Ciekawostka: Wektoryo współrz¦dnychcałkowitoliczbowychnapłaszczy¹nienigdynieutworz¡k¡ta30 o ani60 o ! s8. Wyznaczwektorrównoległydowektora ~v 6 = ~ 0odługo±ci1: (a) ~v =[3 , 4], (b) ~v =[2 , 1 , 2].Wsk.Podziel wektorprzezjegodługo±¢.Czynno±¢t¦nazywamynormowaniemwektora. s9. Danes¡wektory ~a =[3 , 4], ~ b =[12 , 5].Znajd¹wektor ~c wyznaczaj¡cydwusieczn¡k¡tapomi¦dzydanymi wektorami.Wsk.Wystarczyunormowa¢danewektoryidoda¢. prostaipłaszczyzna p16. Znajd¹równanieparametryczneprostejprzechodz¡cejprzezdwadanepunkty: (a) A ( − 1 , 4), B (3 , − 2); (b) A (5 , − 1 , 3), B (1 , − 4 , − 3). p17. Znajd¹równanieparametrycznepłaszczyznyprzechodz¡cejprzeztrzydanepunkty: (a) A (1 , − 1 , 1), B (3 , − 4 , 5), C ( − 4 , 6 , 8); (b) A ( − 2 , − 3 , 1), B ( − 1 , − 1 , 4), C (0 , 1 , 7); (c) A ( − 2 , − 5 , 0), B ( − 1 , − 3 , 3), C (0 , − 1 , 6).Sprawd¹,czy punktyniele»¡najednejprostej. p18. Znajd¹napłaszczy¹nierównanieogólneprostejprzechodz¡cejprzezpunkt A (2 , − 3)iprostopadłejdowektora ~v =[3 , 4]. p19. Znajd¹wprzestrzenirównanieogólnepłaszczyznyprzechodz¡cejprzezpunkt A (1 , − 2 , 4)prostopadłejdowek- tora ~v =[5 , − 3 , − 2]. p20. Wyznaczwektor ~n prostopadłyjednocze±niedowektora ~u =[ − 1 , 3 , 2]idowektora ~v =[3 , − 2 , 1].Wsk.Sko- rzystajziloczynuwektorowego. 3oraz 8 < x =2+3 s − t y = s + t z =4+2 t p21. Znajd¹równanieogólnepłaszczyznyorównaniuparametrycznym: . : p22. Znajd¹równanieogólnepłaszczyznyprzechodz¡cejprzeztrzypunkty: A (2 , 4 , − 1), B (0 , − 3 , 4), C (7 , 5 , 2). p23. Znajd¹równanieogólnepłaszczyznyprzechodz¡cejpunkt A (0 , − 4 , 5)orazprost¡ x − 2 3 = y +3 − 4 = z − 1 . p24. Prost¡napłaszczy¹nieopisan¡równaniem3 x − 7 y +3=0zapiszparametrycznie. p25. Prost¡napłaszczy¹nieopisan¡równaniem x − 1 3 = y +2 − 4 zapiszwpostaciogólnej. p26. Płaszczyzn¦wprzestrzeniopisan¡równaniem x − 2 y +3 z +7=0zapiszparametrycznie. p27. Wyznaczpunktwspólnypłaszczyzny3 x + y − z +5=0iprostej x 2 = y − 3 − 4 = z +1 − 2 . p28. Prost¡b¦d¡c¡kraw¦dzi¡przeci¦ciapłaszczyzn2 x − 3 y + z +1=0, − x +5 y +3 z − 2=0opiszparametrycznie. p29. Wyznaczk¡tpomi¦dzywektorem ~x =[3 , 4 , 5],apłaszczyzn¡rozpi¦t¡nawektorach ~u =[ − 1 , 2 , 1]i ~v = [3 , − 2 , 11].Wsk.Wyznacznajpierwk¡tpomi¦dzywektorem ~x iwektorem ~n prostopadłymdopłaszczyzny. p32. Wyznaczrzutprostopadłypunktu A (2 , 3 , − 6)napłaszczyzn¦ x +2 y + z +4=0.Wsk.Napiszrównanie parametryczneprostejprostopadłejdopłaszczyzny. p33. Wyznaczpunktsymetrycznydopunktu A wzgl¦dempłaszczyznyzpoprzedniegozadania. p34. Wyznaczrzutprostopadłypunktu A ( − 2 , 9)naprost¡2 x +5 y =38,nast¦pniewyznaczpunktsymetrycznydo A wzgl¦demprostej. p35. Znajd¹rzutpunktu A (1 , − 2 , 1)naprost¡ x +1= y +8 − 1 = z − 2 2 . Wsk.Poprowad¹płaszczyzn¦przechodz¡c¡przezpunkt A iprostopadł¡doprostej. p36. Wyznaczrzutprostopadłyprostej x 4 = y − 1 3 = z − 2 2 napłaszczyzn¦ x − y +3 z +8=0. p37. Wyznaczk¡tpomi¦dzyprostymi x + y +1=0,2 x − y =0. p38. Wyznaczk¡tpomi¦dzypłaszczyznami x − y +2 z =0, − 2 x + y + z =0.Wsk.Jesttok¡tpomi¦dzywektorami normalnymi. p39. Wyznaczk¡tpomi¦dzypłaszczyzn¡ − x +2 y − 3 z =0iprost¡ x 2 = y +1 1 = z − 1 3 . p40. Wyznaczrównaniadwusiecznychk¡tówutworzonchprzezproste y = x , y =7 x .Wsk.Zad.9. p41. Obliczobwódipoletrójk¡ta ABC dla A (1 , 2 , − 1), B (3 , 0 , 4), C (3 , 5 , 3). p42. Obliczodległo±¢punktu A (5 , 6)odprostej2 x +3 y − 1=0. p43. Obliczodległo±¢punktu A (3 , 4 , 3)odpłaszczyzny x +2 y − z +2=0. p44. Wyznaczodległo±¢mi¦dzyprostymisko±nymi x +3 4 = y − 6 − 3 = z − 3 2 , x − 4 8 = y +1 − 3 = z +7 3 .Wsk.Przezjedn¡z prostychprzeprowad¹płaszczyzn¦równoległ¡dodrugiejprostej. p45. Znajd¹równanieprostejprzechodz¡cejprzezpunkt A (1 , 2 , 1)iprzecinaj¡cejdwieproste: x − 1 1 = y +3 − 2 = z − 3 2 , 1 = z 3 .Wsk.Przezjedn¡zprostychipunkt A przeprowad¹płaszczyzn¦któraprzetniedrug¡prost¡w punkcie B . AB jestszukan¡prost¡. Operatory o50. Zapomoc¡operatora ~ f : R 2 ! R 2 ,opisanegomacierz¡ A ,przekształ¢kwadratdanynarysunkuponi»ej.Znajd¹ obrazypunktów P,Q,R,S,O izaznaczjejakopunkty P 0 ,Q 0 ,R 0 ,S 0 ,O 0 wukładzieobok.Współrz¦dnepunktów odczytajzrysunkuwiedz¡c,»e P =(1 , 1).Porównajiloraz x − 2 2 = y − 2 poleczworok¡ta P 0 Q 0 R 0 S 0 poleczworok¡ta PQRS 31 12 − 10 01 zwyznacznikiemmacierzy A .Rozwa»nast¦puj¡cewarianty:a) A = ,b) A = , c) A = 10 01 1 − 2 2 1 24 12 ,d) A = , e) A = . y y Z Z Z Z 6 6 Q P · · x x O - - · · · R S o54. Wyznaczmacierz A operatora ~ f : R 2 ! R 2 wbazienaturalnej,któryprzekształcafigur¦ F na F 0 zgodniez podanymrysunkiem. y y 6 6 Q P’ · ` ` ` ` ` · P P P · P · S’ - - F F’ x x ` ` ` ` ` P P P · · Q’ R · S · R’ o55. Znajd¹warto±ciiwektorywłasneoperatoraokre±lonegodan¡macierz¡.Wprzykładach(g)i(h)wyznacz dodatkowopłaszczyznyniezmiennicze. 2 3 2 3 2 3 − 2 − 4 1 3 − 3 4 2 − 1 0 3 1 3 0 − 1 1 − 1 − 4 2 5 − 1 5 − 2 − 5 − 1 − 5 2 4 − 22 − 2 30 2 00 4 5 , (d) 4 5 , (e) 4 5 , (a) , (b) , (c) 2 3 2 3 2 3 4 − 22 − 2 30 2 00 1 2 − 1 − 5 − 3 − 3 − 2 − 1 − 2 2 0 1 5 1 5 2 − 3 − 2 4 5 , (g) 4 5 , (h) 4 5 . (f) [ Pobierz całość w formacie PDF ] |
Podobne
|