ALGEBRA

ALGEBRA, algebra

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1. ZBIORY Z DZIAŁANIAMI
1
1. Zbiory z działaniami
T¦ cz¦±¢ wykładu rozpocznijmy od zdania wypowiedzianego w XIX wieku przez Sophie
Germain:
„Algebra to nic innego jak symboliczny zapis geometrii, geometria za± – to algebra
uciele±niona w ﬁgurach.”
Od momentu sformułowania tej my±li rozwój matematyki w jakim±
sensie ograniczył jej słuszno±¢. Zacz¦to bowiem zwraca¢ uwag¦ nie na same obiekty matema-
tyczne, a na relacje mi¦dzy nimi. W my±l tego nowego rozumienia algebr¦ deﬁniuje si¦ jako
nauk¦ o działaniach “algebraicznych” na elementach zbiorów. Działania algebraiczne wzi¦ły
swój pocz¡tek w arytmetyce, a nast¦pnie zostały rozszerzone na dowolne zbiory obiektów.
Metody algebraiczne znalazły zastosowanie we wszystkich dziedzinach matematyki, z na-
szego punktu widzenia istotny jest natomiast fakt, »e stanowi¡ one podstawowe narz¦dzie w
analizie modelowej zagadnie« ekonomicznych oraz w szeroko poj¦tej informatyce.
1.1. Podstawowe deﬁnicje
Je±li
A
jest dowolnym zbiorem to ka»d¡ funkcj¦
f
:
A
×
A
!
A
nazywamy
działaniem
w
zbiorze
A
. Element
a
3
2
A
taki, »e dla
h
a
1
,a
2
i2
A
2
zachodzi równo±¢
f
(
a
1
,a
2
) =
a
3
nazywamy
wynikiem działania f dla pary
h
a
1
,a
2
i
.
Tak wi¦c dla okre±lenia działania musi by¢ okre±lony zbiór, którego iloczyn kartezja«ski jest
dziedzin¡ funkcji zwanej działaniem i równocze±nie zbiór ten jest jej przeciwdziedzin¡ oraz co
oczywiste, musi zosta¢ okre±lony wzór (przepis) funkcji (działania).
Je±li
A
jest ustalonym zbiorem, to w tym zbiorze mo»e zosta¢ okre±lonych wiele działa«. Gdy
f
1
,f
2
,...,f
n
s¡ takimi funkcjami (działaniami), to układ
h
A,f
1
,f
2
,...,f
n
i
nazywamy
algebr¡
abstrakcyjn¡
.
Tak wi¦c zbiór wraz z okre±lonymi w nim działaniami traktujemy jako now¡ jako±¢. Dla
zilustrowania tego poj¦cia bardziej porz¡dkuj¡cego ni» rozszerzaj¡cego nasz¡ wiedz¦ podamy
przykłady znanych obiektów b¦d¡cych algebrami abstrakcyjnymi.
Przykład.
1.
h
N
,
+
,
·i
— zbiór liczb naturalnych z działaniami dodawania i mno»enia takich liczb.
2.
h
Z
,
+
,
·
,
−i
— zbiór liczb całkowitych z działaniami dodawania, mno»enia i odejmowania
takich liczb.
3.
h
R[
x
]
,
,
,
i
— zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej
x
i współczynnikach po-
chodz¡cych ze zbioru liczb rzeczywistych wraz z dodawaniem, odejmowaniem i mno»eniem
wielomianów.
4.
hP
(
X
)
,
[
,
\
,
\ i
— zbiór wszystkich podzbiorów niepustego zbioru
X
wraz z działaniami
dodawania, mno»enia i odejmowania zbiorów.
Poj¦cie działania wewn¦trznego mo»emy z funkcji o dziedzinie
A
×
A
i zbiorze warto±ci w
A
rozszerzy¢ na przypadek ogólny tj. gdy
f
:
A
n
!
A
oraz
n
2
N i wtedy działanie takie
nazywamy
działaniem n-argumentowym
, lub
operacj¡ n-argumentow¡
. Przykładem działania
niedwuargumentowego jest cho¢by negacja zdania w logice dwuwaro±ciowej, pierwiastek kwa-
dratowy z liczby nieujemnej czy dopełnienie zbioru do przestrzeni.
Niech
A
b¦dzie niepustym zbiorem elementów dowolnej natury oraz niech
:
A
×
A
!
A
b¦dzie działaniem dwuargumentowym w
A
. O działaniu
mówimy, »e:
1. ZBIORY Z DZIAŁANIAMI
2
jest ł¡czne
()
^
a
1
(
a
2
a
3
) = (
a
1
a
2
)
a
3
,
a
1
,a
,
a
3
2
A
jest przemienne
()
^
a
1
a
2
=
a
2
a
1
,
a
1
,a
2
2
A
ma element neutralny lewostronnie
()
_
^
e
a
=
a,
e
2
A
a
2
A
ma element neutralny prawostronnie
()
_
^
a
e
=
a,
e
2
A
a
2
A
ma element neutralny
()
_
^
e
a
=
a
e
=
a.
e
2
A
a
2
A
Wprost z deﬁnicji elementu neutralnego otrzymujemy nast¦puj¡cy wynik.
Wniosek.
Je±li e
2
A jest elementem neutralnym wzgl¦dem działania wewn¦trznego
, to
jest to jedyny element neutralny w zbiorze A
.
Przykładami elementów neutralnych s¡:
(i) 0 wzgl¦dem działania dodawania w R,
(ii) 1 wzgl¦dem działania mno»enia w R,
(iii)
;
wzgl¦dem działania dodawania zbiorów.
(
a
;
b
)
oznaczymy zbiór zło»ony z wszystkich funkcji okre±lonych i ci¡głych na
przedziale (
a,b
) takich, »e dla dowolnych dwóch funkcji z tego zbioru istnieje ich zło»enie.
Je±li
f,g
2
C
comp
(
a
;
b
)
, to ich zło»enie oznaczymy przez
g
f
, gdzie
jest symbolem działania
składania (superpozycji) funkcji. W takim przypadku elementem neutralnym lewostronnym i
prawostronnym superpozycji jest funkcja to»samo±ciowa okre±lona wzorem
f
(
x
) =
x
.
Element
r
2
A
nazywamy
elementem regularnym lewostronnie
w zbiorze
E
wzgl¦dem dzia-
łania
wtedy i tylko wtedy, gdy
^
(
r
a
1
=
r
a
2
) =
)
(
a
1
=
a
2
)
,
a
1
,a
2
2
A
podobnie,
r
nazywamy
regularnym prawostronnie
, wtedy i tylko wtedy gdy
^
(
a
1
r
) = (
a
2
r
) =
)
(
a
1
=
a
2
)
.
a
1
,a
2
2
A
Je±li
b
jest regularny lewo- i prawostronnie to jest regularny. Zauwa»my, »e w zbiorze
A
mo»e
istnie¢ wiele elementów regularnych wzgl¦dem ustalonego działania, nawet niesko«czenie wiele.
Przykładem tego mo»e by¢ zbiór R wraz z dodawaniem i mno»eniem liczb. Wtedy ze wzgl¦du
na pierwsze z działa« wszystkie elementy R s¡ regularne, ze wzgl¦du na drugie natomiast nie
jest regularne tylko zero.
Je±li przez
C
comp
1. ZBIORY Z DZIAŁANIAMI
3
Zwró¢my tak»e uwag¦ na fakt, »e regularno±¢ elementów pozwala na skracanie przez nie.
Innymi słowy: obowi¡zuje prawo skracania przez elementy regularne.
Niech
A
b¦dzie zbiorem, w którym zostało okre±lone działanie wewn¦trzne
o elemencie
neutralnym
e
. Wtedy
elementem symetrycznym do elementu a
2
A wzgl¦dem działania
nazywamy element
a
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
a
a
0
=
a
0
a
=
e.
Twierdzenie.
Je±li w zbiorze A jest okre±lone działanie ł¡czne
maj¡ce element neutralny
e i je±li dla ka»dego elementu a
2
A istnieje element symetryczny a
0
2
A, to:
(1)
element symetryczny jest jedyny;
(2)
element a jest regularny wzgl¦dem działania
.
Dowód.
Ad.1) Przypu±¢my, »e istniej¡ dwa elementy symetryczne wzgl¦dem
a
, na przykład
a
0
i
a
”. Wtedy na mocy deﬁnicji elementu symetrycznego mamy
a
a
0
=
e
. Zadziałajmy teraz
elementem
a
” na ostatni¡ równo±¢, ale z lewej strony. Dostajemy wtedy:
a
00
(
a
0
a
) = (
a
00
a
)
a
0
=
e
a
0
=
a
0
,
st¡d pami¦taj¡c, »e
a
0
a
=
e
dostajemy
a
0
=
a
00
. Zatem uzyskali±my sprzeczno±¢ z przypusz-
czeniem, »e istniej¡ dwa ró»ne elementy symetryczne wzgl¦dem
a
.
Ad.2) Niech teraz
a
0
b¦dzie elementem symetrycznym do
a
wzgl¦dem działania
i niech
a
b
=
a
c
. Działaj¡c na ostatni¡ równo±¢ lewostronnie elementem
a
0
otrzymujemy:
a
0
(
a
b
) =
a
0
(
a
c
)
,
(
a
0
a
)
b
= (
a
0
a
)
c, e
b
=
e
c, b
=
c.
Zatem
a
jest elementem regularnym wzgl¦dem działania
.
Je±li¤jest działaniem addytywnym, to element symetryczny do elementu
a
nazywamy
elementem przeciwnym do a
i oznaczamy symbolem
−
a
. Natomiast, gdy¤jest działaniem
multyplikatywnym, to element symetryczny do
a
nazywamy
elementem odwrotnym do a
i pi-
szemy
a
−
1
a
.
W zbiorze
A
, w którym okre±lone jest działanie wewn¦trzne¤, wykonalne jest
działanie
lewostronnie odwrotne
do¤, wtedy i tylko wtedy, gdy:
^
_
x
¤
a
2
=
a
1
.
a
1
,a
2
2
A
x
2
A
W podobny sposób deﬁniujemy działanie prawostronnie odwrotne.
W przypadku, gdy działanie¤jest przemienne, to albo równocze±nie obydwa działania
odwrotne nie istniej¡, albo te» istniej¡ i s¡ równe. Mówimy wtedy o istnieniu działania odwrot-
nego do¤. Przykładem działa« odwrotnych s¡ w przypadku działania dodawania w zbiorze
R
działanie odejmowania w tym zbiorze, a w przypadku działania mno»enia w
R
dzielenie w tym
zbiorze.
Niech w zbiorze
A
b¦d¡ okre±lone dwa działania wewn¦trzne
4
i
.
lub
1
2. STRUKTURY ALGEBRAICZNE
4
Działanie
4
nazywamy
lewostronnie rozdzielnym (dystrybutywnym)
wzgl¦dem działania¤,
wtedy i tylko wtedy, gdy:
^
(
a
1
¤
a
2
)
4
a
3
= (
a
1
4
a
3
)¤(
a
2
4
a
3
)
a
1
,a
2
,a
3
2
A
oraz
prawostronnie rozdzielnym
wzgl¦dem działania¤, wtedy i tylko wtedy, gdy
^
a
1
4
(
a
2
¤
a
3
) = (
a
1
4
a
2
)¤(
a
1
4
a
3
)
.
a
1
,a
2
,a
3
2
A
oraz
rozdzielnym wzgl¦dem
¤, gdy jest ono lewo– i prawostronnie rozdzielne wzgl¦dem tego
działania.
2. Struktury algebraiczne
Je±li dane s¡:
1. dowolny niepusty zbiór
A
,
2. rodzina zbiorów
F
=
{
F
1
,F
2
,...,F
m
}
(nie zakładamy niepusto±ci tej rodziny),
3. zbiór
W
, o którym zakładamy, »e jest niepusty i zło»ony z działa« wewn¦trznych w
A
tj.
funkcji postaci:
Z
,
w
:
A
×
A
−!
A,
4. zbiór
Z
, którego elementy s¡ funkcjami postaci
z
i
:
F
i
×
A
−!
A, i
2{
1
,
2
,...,m
}
.
zwane
działaniami zewn¦trznymi
(dopuszczamy przypadek, gdy
Z
jest zbiorem pustym), to
układ
A
= (
A,
F
,
W
,
Z
) nazywamy
struktur¡ algebraiczn¡
, za± zbiór
A no±nikiem struktury
A
.
Nale»y jeszcze raz podkre±li¢, »e zbiory
F
i
Z
mog¡ by¢ puste. Wiedz¡c, »e taka sytuacja ma
miejsce zamiast pisa¢
A
=
h
A,
;
,
W
,
;i
b¦dziemy pisa¢
A
=
h
A,
Wi
.
2.1. Półgrupa, grupa, podgrupy
Struktur¦
G
zło»on¡ z niepustego zbioru
G
oraz jednoelementowego zbioru działa« wewn¦trz-
nych
W
=
{
¤
}
nazywamy
półgrup¡
wtedy i tylko wtedy, gdy działanie¤jest w
A
działaniem
ł¡cznym tj.:
^
(
a
1
¤
a
2
)¤
a
3
=
a
1
¤(
a
2
¤
a
3
)
.
a
1
,a
2
,a
3
2
G
Przykład.
1.
Niech
M
oznacza zbiór wszystkich przekształce« płaszczyzny eulkidesowej
, za±
niech
b¦dzie działaniem składania przekształce« ze zbioru
M
. Para
hM
,
i
jest półgrup¡.
2.
Niech
X
b¦dzie dowolnym zbiorem, a
P
(
X
) zbiorem pot¦gowym zbioru
X
. Para
hP
(
X
)
,
ri
,
gdzie
r
jest dowolnie wybranym elementem zbioru działa« teoriomnogo±ciowych
{[
,
;
,
\}
.
2. STRUKTURY ALGEBRAICZNE
5
Struktur¦
h
G,
Wi
, gdzie jak poprzednio
W
=
{
¤
}
nazywamy
grup¡
wtt, gdy spełnione s¡
warunki:
1) działanie¤jest ł¡czne
^
(
a
1
¤
a
2
)¤
a
3
=
a
1
¤(
a
2
¤
a
3
)
,
a
1
,a
2
,a
3
2
G
2) istnieje element neutralny
e
działania¤
_
^
e
¤
a
=
a
¤
e
=
a
e
2
G
a
2
G
3) dla ka»dego elementu a z
G
istnieje element symetryczny
a
0
2
G
^
_
a
0
¤
a
=
a
¤
a
0
=
e.
a
2
G
a
0
2
G
Je±li dodatkowo
4) spełniony jest warunek przemienno±ci
^
a
1
¤
a
2
=
a
2
¤
a
1
,
a
1
,a
2
2
G
to par¦
h
G,
¤
i
nazywamy
grup¡ przemienn¡
albo
abelow¡
.
Niepusty podzbiór
G
0
zbioru
G
nazywamy
podgrup¡
grupy
h
G,
¤
i
wtedy i tylko wtedy, gdy
zbiór ten wraz z działaniem¤tworzy grup¦. Podgrup¦ t¦ oznaczamy przez
h
G
0
,
¤
i
.
Przykład.
Zbadamy czy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych wraz z działaniem
~
: (
a,b
)
7−!
a
+
b
2
jest grup¡?
Para
hR
,
~i
jest grup¡ je±li prawdziwa jest koniunkcja zda« stanowi¡cych aksjomaty tej
struktury. Przed przyst¡pieniem do sprawdzenia poszczególnych punktów deﬁnicji grupy przed-
stawmy w nieco innej postaci przepis działania
~
. Mamy:
a
1
~
a
2
=
a
1
+
a
2
2
=
1
2
(
a
1
+
a
2
) =
2
a
1
+
1
2
a
2
.
Wprost z ostatniego zapisu wynika, »e działanie
~
jest wewn¦trzne w R, bo takimi działa-
niami s¡ dodawanie i mno»enie liczb rzeczywistych.
Niech teraz
a
1
,a
2
,a
3
b¦d¡ dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wtedy z jednej strony
(
a
1
~
a
2
)
~
a
3
=
1
2
1
2
a
1
+
1
2
a
2
+
a
3
=
4
a
1
+
1
4
a
2
+
1
2
a
3
,
a z drugiej
1
2
1
2
a
2
+
1
2
a
1
+
1
4
a
2
+
1
a
1
~
(
a
2
~
a
3
) =
a
1
+
2
a
3
=
4
a
3
.
Zatem działanie
~
nie jest ł¡czne.
1
1
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

dodatni.htw.pl

Podobne