AM1-zadaniaAM1-zadania, studia PWr, anaiza 1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Tydzień 1 - Logika1. Każde z poniższych zdań wyraź w postacip=⇒q.Wskaż założenie i tezę twierdzenia.A. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowiprzeciwprostokątnej.B. Dla wykładnika naturalnegon≥3równaniexn+yn=znnie ma rozwiązań w liczbachcałkowitych dodatnich.C. Każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwu liczb pierwszych.2. Rozważmy zdanie:Jeżeli 12 dzieli jakąś liczbę, to także 3 dzieli tę liczbę.a) Pokaż, ze wynikanie odwrotne nie jest prawdziwe.b) Czy podzielność przez 12 jest warunkiem koniecznym podzielności przez 3?c) Czy podzielność przez 3 jest warunkiem koniecznym podzielności przez 12?d) Czy podzielność przez 12 jest warunkiem dostatecznym podzielności przez 3?e) Podaj warunek konieczny i dostateczny podzielności przez 3.3. Rozważmy zdania:p- dostałem co najmniej czwórkę,q- dostałem mniej niz trójkę,r- niedostałem jedynki. Przyjmując, że nie ma ocen połówkowych wyraź możliwie prosto zdania:a) negacjęr;b) negacjęp;c) koniunkcjęqir;d) alternatywęporazq;e) negację alternatywyzdańporazq;f) koniunkcję negacjipi negacjiq.4. Jedna strona każdej z kart pokazuje kolor (czerwony albo niebieski), druga figurę (kółkoalbo trójkąt). Na stole leżą cztery karty: pierwsza z nich jest niebieska, druga czerwona,trzecia ma kółko, czwarta trójkąt. Placek twierdzi, że karty niebieskie mają na odwrociekółko. Które karty trzeba odwrócić, aby sprawdzić, czy ma rację.5. Załóżmy, że gdy Jacek chrapie, to Agatka śni. Czy wynika stąd, że:a) Gdy Jacek nie chrapie, to Agatka nie śni.b) Gdy Agatka śni, to Jacek chrapie.c) Gdy Agatka nie śni, to Jacek nie chrapie.d) Jacek nie chrapie lub Agatka śni.6. Które z poniższych równoważności są prawdziwe?a)njest wielokrotnością 5⇐⇒5 jest dzielnikiemn;b)a < b⇐⇒b > ac) A jest o 100% szybszy od B⇐⇒B jest o 100% wolniejszy od A.7. George Bernard Shaw twierdził, że „ przekłady są jak kochanki — wierne nie są piękne,piękne nie są wierne”. Czy z twierdzenia tego wynika, że:A. Przekład wierny nie jest piękny.B. Jeśli przekład nie jest piękny, to jest wierny.C. Jeśli przekład jest piękny, to nie jest wierny.D. Jeśli przekład nie jest wierny, to jest piękny.E. Żaden przekład nie może być zarazem wierny i piękny.8. Panu N. odmówiono sprzedaży alkoholu powołując się na przepis, że osobom niepełnoletnimbądź nietrzeźwym alkoholu nie sprzedaje się. Czy wynika stąd, że pan N:a) był niepełnoletni;c) był niepełnoletni i nietrzeźwy;e) jeśli był trzeźwy, to niepełnoletnib) był nietrzeźwy;d) był niepełnoletni lub nietrzeźwy;f) jeśli był niepełnoletni, to trzeźwy.♦♦♦9. Udowodnij, że istnieją liczby niewymiernea, btakie, żeabwymierna.√Wsk.: Rozważa=b= 2.Jeżeliabjest wymierna, to koniec dowodu. A jeśli niewymierna?10. Dokończ poniższy dowód niewprost:Załóżmy, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. Niechp1,p2, . . . ,pkbędą wszystkimiliczbami pierwszymi. Rozważmy liczbęN=p1p2. . . pk+ 1.Wówczas . . .Jakie twierdzenie udowodniłeś?Tydzień 2 - Kilka bardzo prostych funkcje. Logarytm i funkcja wykładnicza1. Naszkicuj wykresy funkcji:a)y=sgnx;b)y=x; c)y=x;d)y=x−x;e)y=xx;f)y=xsgnx.2. Naszkicuj wykresy funkcji potęgowejy=xαdlaα= 1,2, 3,−1, −2,1/2oraz−1/2.3. Zapisz w postaci pojedynczej potęgi dwójki:√√√√√a)1/64;b2;c)2 2;d)( 2)/2;e)( 2)3·(32)24. Podaj wartości logarytmów:a)log21024;1b)log2 4;423;f)(23)4;g)√2√2h)(2 2).c)log2√2;d)log48;e)log84;f)log√3 1.35. Wyraź poniższe wyrażenia za pomocą pojedynczego logarytmu:a)2 log 2;b)log 20−2 log 5;c)1;log 3d)log310;log2103logx.2d)y= 1−2x;e)y=|2x−1|.e)log 2.ln 26. Wyraźyjako funkcję zmiennejx,jeżelilogy=7. Naszkicuj wykresy funkcji:a)y= 2−x;b)y= log(x + 1);c)y= log|x|;8. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji:a)y= 2x−1;b)y= 102x;c)y=x2,x≤0;♦♦d)*y= 2x+ 2−x,x≥0.♦9. Badania pokazują, że w dużych zbiorach danych złożonych z przypadkowych liczb, liczby1zaczynające się cyfrąkstanowią okołolog 1 +kwszystkich danych.a) Oszacuj, jaka część danych zaczyna się cyfrą 1, jaka cyfrą 2.b) Sprawdź, że111log 1 ++ log 1 ++. . .+ log 1 += 1.12910. Wykaż, żelog 2jest liczbą niewymierną.11. Za pomocą odpowiedniego logarytmu podaj wzór na liczbę cyfr liczbyn.Ile cyfr ma wzapisie dziesiętnym liczba21000?Tydzień 3 - Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne1. Podaj wartości funkcji trygonometrycznych:a) tgπ;3b)sin2π;3c)cos5π;3d)sin5π;4e)cos4π;3f) ctg2π.3d)y=|sinx|+ sinxe)y= sinx+√3 cosx.2. Naszkicuj wykres funkcji:a)y= sin 2x;b)y= cos(x +π/4);c)y= 2 cosx;3. Określ typ parzystości (parzysta, nieparzysta, ani taka ani taka) funkcji:a)y= sinx+ sin 3x;d)y= sinx+ sin2x;5a)sin3πb)y= sinxcosxe)y=xk+ cosx;c) tg10π;3c)y= cosx+ cos2x+ cos3x;f)y= sin(x +π/4)+ cos(x +π/4).e)cos17π;6f)sin2π+ sin8π.554. Korzystając z okresowości, parzystości bądź nieparzystości i wzorów redukcyjnych oblicz:b)cos11π;4d)sin−7π;45. Wykaż tożsamości:11 + cos 2xa)1 +tg2x=;b)(cosx+ sinx)2+ (cosx−sinx)2= 2;c)cos2x=;cos2x21−cos 2xsin 3x + sinx3 cosx+ cos 3xd)sin2x=; e)sin 2x cosx=;f)cos3x=.2246. Oblicz wartości czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych kątasin 15◦.7. Wyraźsin 3αza pomocąsinα.Udowodnij, żesin 20◦jest liczbą niewymierną.8. Oblicz wartości funkcji cyklometrycznych√a) arctg1;b)arcsin(−1/2);c) arctg(−3)♦♦√d)arcsin( 2/2).♦9. Ile różnych wartości przyjmuje wyrażeniesin 1◦+sin 2◦+sin 3◦+.. .+sin k◦, gdykprzyjmujewartości 0, 1, 2,. . . ?10. Pokaż, że jeślit=tg(x/2), to1−t2cosx=,1 +t211. Oblicz:sinx=2t.1 +t24π6π8π10π12π2π+ sin+ sin+ sin+ sin+ sin.777777Uogólnik wynik. Rozważ podobne zadanie dla cosinusów.sin12. Udowodnij, że dla dodatnichxzachodzi równość arctgx+arctg(1/x)=π. Jak wygląda2analogiczna równość dla ujemnychx?13. Naszkicuj wykresy funkcji:a)y=tg(arctgx);b)y=arctg(tgx)c)*y= cos(arcsinx).14. Krzywą, którą można otrzymać przesuwając odpowiednio wykres funkcjiy=asin(bx +c)dla ustalonych parametrówa, b, c,nazywamysinusoidą.Wykaż, że każda z poniższychkrzywych jest sinusoidą:a)y= cosx;d)y= sinx+ cosx;b)y= sin2xe)y= (sinx+ cosx)2;c)y= sinxcosxf)*sin4x+ cos4x.1215.* Jednym z pierwiastków równania4x3−3x =jestcos 20◦. Znajdź dwa pozostałe.Tydzień 4 - Granica ciągu1. Oblicz granice ciągów:a)an= (n + 3)(2n + 1);√e)en=n2+ 1−n;n2+ 1;n3+n+ 1√f)fn=n2+n−nb)bn=3n+ 4n;5nsinng)gn=;nc)cn=c)cn= 3n−2n;1 + 2 +...+n;n√h)*hn=n2n+ 3n.d)dn=2. Znajdź granice niewłaściwe, o ile istnieją.a)an= (n2+ 1)/(n + 1);b)bn= 1000n2−n3;d)dn= 3n−(−2)n.3. Jeżeli dla dodatnich funkcjif,gf(n)=a,n→∞g(n)limgdzie< a <∞,to mówimy, żef,gsą tego samego rzędu; jeżelia= 1— mówimy, że sąasymptotycznie równe.a) Pokaż, że1 + 2 +. . .+njest rzędun2.b) Dla jakiegoanjest asymptotycznie równeank?k4. Jaką częścią sumy liczb naturalnych z przedziału[1, 2n]jest suma liczb nieparzystych ztegoż przedziału? Znajdź granicę tego ilorazu.5. Oblicz granice ciągów:an= 1 +1 2n;nn21n.nb)bn=nn+1;c)cn=2n+1n;2nd)dn= 1−6. Wyjaśnij, wskazując odpowiednie przykłady, dlaczego następujące wyrażenia sa nieozna-czone: a)· ∞;b)∞/∞;c)1∞.7. Naszkicuj wykres funkcjia)f(x) = limxn;n→∞b)f(x) = lim 1 +x+x2+. . . xn.n→∞Uważaj na dziedzinę!♦♦♦8. NiechPnoznacza polen-kątaforemnego wpisanego w okrąg o promieniu 1,Lnobwód tegowielokąta.a) Znajdź granice obu ciągów,b) Wywnioskuj stąd granicę ciąguan=nsin(2π/n).9. Rozważmy ciąga= 1,an+1=an+2an.2a) Wiedząc, że ciąg ten jest zbieżny, znajdź jego granicę. Oblicz kilka początkowych wyrazówi porównaj z wynikiem dokładnym.√√b) Podaj analogiczny ciąg o granicy: a)3;b)32.10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród 183 osób przynajmniej jedna obchodzi urodzinyw tym samym dniu, co Ty? Rachunki możesz wykonać w pamięci.√11.* Udowodnij, żelimnn= 1.n→∞Tydzień 5 - Granica funkcji1. Oblicz granice funkcji:x3−1a)lim2;x→1x−1x2−1√b)lim;x→1x−1c)limx→0√√1+x−1−x;2xd)limsinx.x→∞x2. Oblicz granice funkcji:sin 2xsin 2x1−cosxe2x−1ln(1−x)a)lim; b)lim; c)lim; d)limx; e)lim.x→0x→0sinxx→0x→0e−1x→1xx2x3. Znajdź obie granice jednostronne (właściwe bądź niewłaściwe) we wskazanym punkcie:a)y=x−1w punkcie 1;|x −1|b)y=sgnxw punkcie zero;x√c)y=1 +x2.xc)y=x xw punkcie zero.x4. Znajdź asymptoty funkcji:x3a)y=2;x−1x3+ 8b)y=2(x−4)25. NiechS(h)oznacza powierzchnię całkowitą stożka o ustalonej podstawieri wysokościh.Znajdź granicęS(h)za pomocą:a) rozumowania geometrycznego; b) obliczeń.6. NiechS(h)oznacza pole powierzchni tej części Ziemi, jaka widoczna jest z wysokościh.ZnajdźlimS(h),przyjmując, że Ziemia jest kulą o promieniuR.h→∞♦♦♦7. Obliczając odpowiednią granicę pokaż, że dlaa >a2+r≈a+Korzystając z tego wzoru pokaż, że: a)√r.2a√15≈31/8;c)√2≈99/70.10≈19/6;b)8. Przy stałym tempie wzrostup%przez okres podwojenia rozumiemy czas, po jakim danawielkość się podwaja.a) Znajdź okres podwojenia odpowiadający przyrostowip%.b) Uzasadnij, że okres ten wyraża się przybliżonym wzorem70/p.c) Czy średni przyrost naturalny w ciągu ostatnich 100 000 lat był wyższy od 1 promila czyniższy? [ Pobierz całość w formacie PDF ] |
Podobne
|