, AM2, Materiały dla ZiP, sem I , II 

AM2

AM2, Materiały dla ZiP, sem I , II
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ANALIZA
MATEMATYCZNA
2
Listazadań
2005/2006
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Listapierwsza
1.1
Korzystając z denicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
1
dx
(
x
+2)
2
;
b)
1
1
a)
2
−
x
dx
;
c)
x
sin
xdx
;
1
0
0
dx
x
2
+4
;
e)
1
dx
1
dx
x
2
−
4
x
+13
;
d)
√
3
x
+5
;
f)
3
−1
1
−1
1
−
1
1
x
2
dx
x
6
+1
.
g)
x
2
e
−
x
3
dx
;
h*)
(
−
arcctg
x
)
dx
;
i*)
−1
−1
0
1.2
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych
pierwszego rodzaju:
1
dx
1
(
x
−
1)
dx
x
4
+
x
+1
;
c)
1
(1+sin
x
)
dx
x
3
a)
√
x
−
3
;
b)
;
10
2
√
0
2
x
dx
x
−
1
;
e)
1
xdx
1
2+cos
x
dx
d)
√
x
7
+1
;
f)
√
.
3
x
−
1
−1
0
2
1.3
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierw
szego rodzaju:
1
xdx
−
1
e
2
x
+1
dx
1
sin
2
1
a)
√
x
5
−
3
;
b)
;
c)
x
dx
;
e
x
−
1
5
−1
1
1
x
2
dx
x
3
−
sin
x
;
e*)
1
(2
x
−
1)
dx
x
2
2
x
+1
;
f*)
1
x
+1
x
x
2
e
d)
−
x
dx.
1
0
10
1.4
Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną podanych całek niewłaściwych:
1
sin3
xdx
e
2
x
+1
;
b)
1
1
x
2
sin
xdx
x
4
+1
;
a)
x
cos2
xdx
;
c)
0
0
0
cos
xdx
x
2
+1
;
e*)
1
2
x
cos
xdx
4
x
+sin
x
;
f*)
1
cos
xdx
√
d)
x
.
−1
0
2
1.5
Korzystajączdenicjizbadaćzbieżnośćpodanychcałekniewłaściwychdrugiegorodzaju(dla
całek zbieżnych obliczyć ich wartości):
2
0
dx
5
dx
sin
x
;
c)
3
dx
x
(
x
−
3)
;
a)
√
x
2
;
b)
−
1
2
2
e
ln
xdx
x
5
2
x
dx
2
x
−
8
;
f*)
e
sinln
xdx
x
d)
;
e)
.
0
3
0
1.6
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych
drugi
e
go rodzaju:
p
2
2
√
x
arctg
1
e
x
dx
x
3
;
c)
cos
2
xdx
3
a)
x
dx
;
b)
√
x
−
;
0
0
0
4
dx
x
2
+
2
dx
3
x
6
dx
(
x
−
1)
2
.
d)
√
x
;
e*)
√
16
−
x
4
;
f*)
0
0
1
1.7
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych dru
giego rodzaju:
sin
3
xdx
x
4
1
e
2
x
−
1
dx
dx
a)
;
b)
√
;
c)
√
cos
x
;
3
x
4
3
0
0
2
1
dx
(arcsin
x
)
2
;
e*)
0
dx
dx
x
−
sin
x
;
d)
√
e
x
−
e
2
x
;
f*)
0
−
1
0
2
dx
x
2
−
√
1
dx
e
x
−
cos
x
;
i*)
2
dx
2
x
−
x
2
.
g*)
x
;
h*)
1
0
1
* 1.8
Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych, które są jednocześnie całkami niewłaści
wymi pierwszego i drugiego rodzaju:
1
dx
x
2
−
1
;
b)
1
dx
x
+sin
x
;
c)
1
dx
x
3
+
a)
√
x
;
1
0
0
1
dx
3
x
−
2
x
;
e)
1
dx
ln
x
;
f)
1
dx
d)
√
x
−
2
.
x
2
0
1
2
Listadruga
2.1
Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
1
5
6
n
1
n
−
1
n
!
;
c)
1
1
(2
n
−
1)(2
n
+1)
;
a)
;
b)
n
=0
n
=2
n
=1
1
1
1
arctg
1
1
n
2
n
.
d)
√
√
n
;
e*)
2
n
2
;
f*)
n
+1+
n
=1
n
=1
n
=1
3
n
Uwaga.
Wprzykładzie
b)
przyjąć,że
S
n
=
a
k
,gdzie
n
-
2
.
k
=2
2.2
Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów:
1
1
n
2
+
n
;
b)
1
n
n
2
+4
;
c)
1
ln
n
n
2
;
a)
n
=1
n
=1
n
=2
1
1
1
√
−
p
1
1
n
ln
n
lnln
n
.
d)
√
n
+1
;
e)
n
2
n
;
f*)
n
n
=1
n
=1
n
=3
2.3
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych szeregów:
1
3
n
2
+2
;
b)
1
n
+1
n
2
+1
;
c)
1
sin
a)
2
n
;
n
=1
n
=1
n
=1
1
2
n
+sin
n
!
3
n
1
3
−
2cos
n
2
√
1
1
d)
;
e)
;
f)
√
n
!
;
n
n
n
=0
n
=1
n
=2
1
3
n
+1
n
3
n
+2
n
;
h*)
1
tg
1
1
(ln
n
)
ln
n
.
g)
4
n
;
i*)
n
=1
n
=1
n
=2
2.4
Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność podanych szeregów:
1
100
n
n
!
;
b)
1
n
2
sin
1
n
!
n
n
;
a)
2
n
;
c)
n
=1
n
=1
n
=1
1
(
n
!)
2
(2
n
)!
;
e)
1
n
n
3
n
n
!
;
1
2
n
+1
n
5
+1
;
d)
f)
n
=1
n
=1
n
=1
1
(3
n
+1)
3
(5
n
+1)
2
;
h*)
1
n
√
;
i*)
1
ln
n
3
n
.
g)
1
−
k
2
n
=1
n
=2
k
=2
n
=2
2.5
Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów:
1
(
n
+1)
2
n
(2
n
2
+1)
n
;
b)
1
2
n
+3
n
3
n
+4
n
;
c)
1
3
n
n
n
2
(
n
+1)
n
2
;
a)
n
=1
n
=1
n
=1
1
arccos
n
1
1
3
−
1
n
1
√
n
d)
n
2
;
e)
tg
n
;
f)
n
2
−
1
.
n
=1
n
=1
n
=2
2.6
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych szeregów:
1
n
2
+
n
+1
2
n
3
−
1
;
b)
1
2
n
−
1
3
n
−
1
;
c)
1
arctg
1
a)
n
2
;
n
=1
n
=1
n
=1
sin
3
n
sin
2
n
1
1
n
+1
√
1
n
n
+3
.
d)
;
e)
n
3
+1
;
f)
ln
n
=1
n
=1
n
=1
4
Listatrzecia
2.7
Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego
zbieżności szeregów uzasadnić podane równości:
n
!1
7
n
n
!1
n
n
a)
lim
n
5
=
∞
;
b)
lim
(
n
!)
2
=0;
c)
lim
n
!1
n
!
n
n
=0;
d*)
lim
n
!1
(3
n
)!(4
n
)!
(5
n
)!(2
n
)!
=0
.
2.8
Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną podanych szeregów:
1
(
−
1)
n
+1
2
n
+1
;
1
−
2
n
3
n
+5
n
1
(
−
1)
n
n
n
2
+1
;
a)
b)
;
c)
n
=1
n
=1
n
=2
1
√
1
(
−
2)
n
3
n
+1
;
f*)
1
(
−
1)
E
(
2
)
n
+1
.
d)
(
−
1)
n
n
3
−
1
;
e)
n
=2
n
=0
n
=0
2.9
Wyznaczyć przedziały zbieżności podanych szeregów potęgowych:
1
x
n
n
2
n
;
b)
1
1
(
x
+3)
n
n
3
a)
n
(
x
−
2)
n
;
c)
;
n
=1
n
=1
n
=1
1
x
n
2
n
+3
n
;
e)
1
n
1
n
!
x
n
n
n
.
d)
n
2
+1
(
x
+1)
n
;
f*)
n
=0
n
=1
n
=1
2.10
Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
1
−
3
x
;
b)
cos
x
2
a)
2
;
c)
xe
−
2
x
;
x
d)
9+
x
2
;
e)
sh
x
;
f*)
sin
4
x.
2.11
Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć podane pochodne:
a)
f
(50)
(0), gdzie
f
(
x
)=
x
sin
x
;
b)
f
(2006)
(0), gdzie
f
(
x
)=
x
e
x
;
x
3
1+
x
2
;
d)
f
(10)
(0), gdzie
f
(
x
)=sin
2
3
x
;
e)
f
(25)
(0), gdzie
f
(
x
)=
x
2
ln(1
−
x
);
f*)
f
(30)
(1), gdzie
f
(
x
)=
xe
x
.
2.12
Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy
podanych szeregów:
1
1
(
n
+1)2
n
;
b)
1
n
(
n
+1)
4
n
1
2
n
−
1
3
n
;
a)
;
c)
n
=0
n
=1
n
=2
1
n
(
n
+2)2
n
;
e*)
1
n
2
25
n
;
f*)
1
1
(2
n
+1)4
n
.
d*)
n
=1
n
=1
n
=0
5
c)
f
(21)
(0), gdzie
f
(
x
)=
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • dodatni.htw.pl
    		•